3. kapitola o problému dvou těles

– Newtonovy pohybové zákony:

1. existují inerciální^{1} vztažné soustavy, v nichž se volné^{2} hmotné body pohybují rovnoměrně přímočaře nebo jsou v klidu;

2. o účinku síly: F = m_{setrvačná} a = \frac{dp}{dt};

3. akce a reakce: F′ = −F.

– Gravitační zákon (pro hmotné body):

F_{12} = −G\frac{m_{1}m_{2 gravitační}}{r^{2}} \frac{r_{12}}{r}  (1)

měření G = 6,6726(5) N · kg^{−2} · m^{2} (viz Brož & Roskovec 1988): Adjustace fyzikálních konstant není u G použitelná, neexistuje totiž vztah G a jiných konstant (patří tedy mezi málo přesné konstanty).^{3} homogenní pole:^{4} F = mg = G\frac{M_{⊕}m}{R_{⊕}^{2}} gravitační pole vně homogenní sféry: jako u hmotného bodu!^{5} OBR vektorů r, r′, Δ, koule a prstýnků uvnitř: M(r) = \frac{4}{3}�r^{3}ϱ, F = G\frac{Mm}{r^{2}} = \frac{4}{3}�Gϱ m · r ⇒ lineární růst

1 Tyto soustavy souvisí spolu Galileiho transformací souřadnic r′ = r − vt, kde v označuje jejich

vzájemnou rychlost. 2 Nepůsobí na ně jiné síly než gravitace vzdálených hmot. 3 Bouguer (1738) — úchylka svislice u hory Chimborasso v Peru 7′′ (odhad m_{hory} z V a ϱ); Carlini

(1824) — změna g při výstupu na horu (sestupu do dolu); Cavendish (1797) — laboratorní torzní váhy (výchylky v bodech obratu); Jolly (1879) — dvouramenné váhy (těleso nad/pod hmotnou koulí) ∼ 0,15 mg; Boys (1895) — torzní kmity (nutno měřit rozměry a momenty setrvačnosti těles).

4 Pád kuličky: s = 1 m, t = 0,45 s, g = \frac{2s}{t^{2}} ≐ 10 m·s^{−2} a hmotnost Země M_{⊕} = \frac{gR_{⊕}^{2}}{G} ≐ 6·10^{24} kg. 5 Což bychom ověřili integrací koule ţpřes prstýnky� souosé s r: Δ = r−r′, Δ^{2} = r^{2} −2rr′ cos φ+

r^{′2} (kosínová věta). Jednodušší je použít skalární potenciál U místo vektorové síly F = ∇U:

U = ∫_{kouli} − \frac{G dm}{Δ} = −G ∫_{V} \frac{ϱ dV}{Δ} = −G ∫_{r′= 0}^{R} ∫ �_{φ= 0} \frac{ϱ(r′)}{Δ} _{2�r′sin φ}^{obvod} r′dφ dr′ .

Trik: dφ vyjádřím z Δ = (r^{2} −2rr′ cos φ+r^{′2})^{\frac{1}{2}} a zaměním integrační meze (0, �) za (r −r′, r + r′).

\frac{dΔ}{dφ} = \frac{1}{2}(r^{2} − 2rr′ cos φ + r^{′2})^{− \frac{1}{2}} (−2rr′)(− sin φ) = \frac{rr′ sin φ}{Δ} ,

OBR sféry a plochy uvnitř, S ∝ R^{2}, F ∝ R^{−2} ⇒ F_{1} = F_{2} OBR |F|(r) uvnitř a vně

– Keplerovy zákony: 1. elipsy, ohnisko ⊙;

2. stejné plochy opsané průvodičem za stejnou dobu;

3. \frac{a^{3}}{T^{2}} = konst. (ne zcela přesné!).

Jak se mění rychlost se vzdáleností? v = \frac{2�r}{T} = 2�\sqrt{konst.}\frac{1}{\sqrt{r}} OBR srovnej s plochou rotační křivkou galaxie, pozn. o temné hmotě v galaktickém halu Pozorovat mohu spíše synodickou dobu oběhu, potřebují převod t_{syn} → t_{siderická} : ω_{1}t_{syn} = 2� + φ, ω_{2}t_{syn} = φ, ω_{1} = \frac{2�}{t_{sid 1}} , ω_{2} = \frac{2�}{t_{sid 2}} ⇒

\frac{1}{t_{sid1}} = \frac{1}{t_{syn}} + \frac{1}{t_{sid2}}  (2)

OBR kružnic a úhlových rychlostí

U = −G ∫_{0}^{R}∫_{r−r′}^{r+r′} \frac{ϱ(r′)}{Δ} 2�r′sin φ \frac{Δ}{rr′ sin φ} dΔ dr′ = − \frac{2�G}{r} ∫_{0}^{R}∫_{r−r′}^{r+r′}ϱ(r′)r′dΔ dr′

= − \frac{2�G}{r} ∫_{0}^{R} ϱ(r′)r′2r′dr′ = − \frac{G}{r} \overbrace{∫_{0}^{R} 4�r^{′2}ϱ(r′) dr′}^{celková hmotnost} = − \frac{GM}{r} ,

odkud dφ = \frac{Δ}{rr′ sin φ} dΔ a tj. přesně jako hmotný bod.

– Problém dvou těles (Murray & Dermott 1999): inerciální soustava souřadnic, r = r_{2} − r_{1}, použití všech tří NZ:^{6}

F_{1} = +G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{3}} r = m_{1}r̈_{1} ,
F_{2} = −G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{3}} r = m_{2}r̈_{2} ,

tzn. celkem 12 neznámých skalárních fcí času: r_{1}(t), ṙ_{1}(t), r_{2}(t), ṙ_{2}(t). Při řešení těchto diferenciálních rovnic použiji tři triky:

1. budu studovat relativní pohyb, nikoli přímo r_{1}, r_{2};

2. nejprve najdu tvar trajektorie r(φ), nikoli r(t);

3. použiji substituce za \frac{1}{r}.

– integrály pohybu (3 pro těžiště a 3 pro hybnosti): snadno najdu prvních 6 integrálů (celkem jich je 10), které úlohu podstatně zjednoduší (hypoteticky, kdybych našel 12 prvních integrálů, tělesa by ţtrčela� na místě nebo se pohybovala rovnoměrně přímočaře): součet rovnic 0 a 0: m_{1}r̈_{1} + m_{2}r̈_{2} = 0, první neurčitý integrál: m_{1} ṙ_{1} + m_{2} ṙ_{2} = a, druhý: m_{1}r_{1} + m_{2}r_{2} = a t + b, kde a, b jsou konstantní vektory (ony integrály pohybu; protože b je až druhý integrál, vyskytují se zde konstantní rychlosti, neboli lineární závislost souřadnic na čase). ⇒ těžiště T = \frac{m_{1}r_{1} +m_{2}r_{2}}{m_{1} +m_{2}} je buď v klidu, nebo se rovnoměrně přímočaře pohybuje (a vůbec nezáleží na tom, že F_{G} ∝ \frac{1}{r^{2}} ; stačí, že síly jsou stejně veliké a opačného směru).

y′ ≡ \frac{dy}{dx} ≡ lim_{Δx→0} \frac{y(x_{0} + Δx) − y(x_{0})}{Δx} .

6 Poznámka o derivacích pro ty, kteří o nich ještě neslyšeli: sklon fce tg α = \frac{Δy}{Δx} popisuje ţjak

moc se fce mění�; derivace funkce y(x) v bodě x_{0} je definována jako limita:

Příkladem první derivace souřadnic podle času je okamžitá rychlost (v ≡ \frac{dr}{dt} , označuje se též ṙ); zrychlení je první derivace rychlosti nebo též druhá derivace souřadnic (a ≡ \frac{dv}{dt} ≡ v̇ = \frac{d^{2} r}{dt^{2}} ≡ r̈).

Uveďme derivace některých elementárních fcí: C′ = 0, x′ = 1, ax′ = a, (x^{n})′ = nx^{n−1}, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = − sin x. Derivace součtu (f +g)′ = f′ +g′, součinu (f ·g)′ = f′g+fg′, složené fce (f(g(x)))′ = f′(g(x))g′(x). Opačným úkolem k derivování je hledání primitivní funkce (neboli integrování).

OBR vektory r_{1}, r_{2}, r

– rovnice relativního pohybu (a 3 integrály momentu hybnosti): nyní vyšetříme relativní pohyb m_{2} vzhledem k m_{1} — odečteme 0 od 0 (přejdeme do neinerciální souřadnicové soustavy):

r̈ = r̈_{2} − r̈_{1} = − \overbrace{G(m_{1} + m_{2})}^{μ} \frac{r}{r^{3}}

r̈ + μ\frac{r}{r^{3}} = 0  (3)

další integrály pohybu najdeme vektorovým násobením rce r:

0 = r̈ × r + \frac{μ}{r^{3}} \overbrace{r × r}^{0} = r̈ × r ,

protože vektorový součin rovnoběžných vektorů je vždy 0. Neurčitý integrál je

r × ṙ = h = konst.  (4)

neb (r × ṙ− h)′ = \overbrace{ṙ× ṙ}^{0}+ r × r̈ − 0 = 0; h je ţněco jako� moment hybnosti^{7} na jednotku hmotnosti μ. ⇒ pohyb probíhá v rovině a plošná rychlost se zachovává ⇒ II. KZ (opět nevyžaduje F_{G} ∝ \frac{1}{r^{2}} , F_{G} pouze musí směřovat podél spojnice těles) OBR r × v a plošná rychlost

– přechod do polárních souřadnic v rovině:

souřadnou soustavu orientuji tak, že rovina xy je kolmá na h a dosadím^{8} za r = rr̂, r̈ = (r̈ − rφ̇^{2}) r̂ + [\frac{1}{r} \frac{d}{dt}(r^{2} φ̇)] φ̂ do vektorové rce (3) ⇒ skalární rce (příslušná složce r̂):

r̈ − rφ̇^{2} = −\frac{μ}{r^{2}} ,  (5)

7 Rozhodně to není celkový moment hybnosti v inerciální soustavě L = r_{1} × m_{1} ṙ_{1} + r_{2} × m_{2} ṙ_{2} ;

v h jsou přitom vektorové součiny ţpomíchané�: h = (r_{1} −r_{2})×(ṙ_{2} −ṙ_{1} ) = r_{1} ×ṙ_{2} −r_{1} ×ṙ_{1} +… 8 Ověření vztahu pro 2. derivaci v polárních souřadnicích: bázové vektory r̂ = (cos φ, sin φ),

φ̂ = (− sin φ, cos φ); ˙ r̂ = (− sin φ, cos φ)φ̇ = φ̇φ̂, ˙ φ̂ = −r̂φ̇; r = rr̂, ṙ = ṙr̂ + r ˙r̂ = ṙr̂ + rφ̇φ̂, r̈ = r̈r̂ + ṙφ̇φ̂ + ṙφ̇φ̂ + rφ̈φ̂ + rφ̇(−r̂φ̇) = (r̈ − rφ̇^{2})r̂ + (2ṙφ̇ + rφ̈)φ̂ = (r̈ − rφ̇^{2})r̂ +[\frac{1}{r} \frac{d}{dt} (r^{2} φ̇)] φ̂.

Rovnice \frac{1}{r} \frac{d}{dt}(r^{2} φ̇) = 0 pro složku φ̂ je naštěstí splněna automaticky, protože to je vlastně vyjádření integrálu h v polárních souřadnicích:

h = r × ṙ = rr̂ × (ṙr̂ + rφ̇φ̂) = r^{2} φ̇ẑ  (6)

a velikost tohoto vektoru je evidentně:

h = r^{2} φ̇ = konst.  (7)

Jak řešit rovnici (5) pro dvě neznámé fce času r(t), φ(t)?!

– eliminace času pomocí substituce u = \frac{1}{r} a integrálu h:

Do rovnice (5) musím dosadit jednak za r = \frac{1}{u}, a jednak za druhou derivaci podle času r̈. Nejprve spočtu první:

ṙ = −\frac{1}{u^{2}} \frac{du}{dt} = −\frac{1}{u^{2}} \frac{du}{dφ}\overbrace{\frac{dφ}{dt}}^{≡ φ̇ = \frac{h}{r^{2}} = hu^{2}} = h \frac{du}{dφ} ;  (8)

zde jsem elegantně derivoval složenou fci u(φ(t)) a využil integrál h (7). Druhá je

r̈ = −h \frac{d^{2}u}{dφ^{2}} φ̇ = −h^{2}u^{2} \frac{d^{2}u}{dφ^{2}} .  (9)

Vyjde −h^{2}u^{2} \frac{d^{2} u}{dφ^{2}} − \frac{1}{u}h^{2}u^{4} = −μu^{2} a po krácení:

\frac{d^{2}u}{dφ^{2}} + u = \frac{μ}{h^{2}} ,  (10)

tj. obyčejná lineární diferenciální rovnice (ODE) 2. řádu pro funkci u(φ). Její obecné řešení ţuhádnu�:^{9}

u = \frac{μ}{h^{2}} [1 + e cos(φ − ϖ)] ,  (11)

kde mám dvě integrační konstanty: e, ϖ^{10} (plus onen předchozí integrál h a hmotnost μ, které označím dohromady jako jeden parametr p:

p = \frac{h^{2}}{μ} .  (12)

9 Mohu se přesvědčit jeho derivováním \frac{du}{dφ} = − \frac{μ}{h^{2}} e sin(φ − ϖ), \frac{d^{2} u}{dφ^{2}} = − \frac{μ}{h^{2}} e cos(φ − ϖ), že

rovnici (10) opravdu splňuje a bez důkazu ţvěřím�, že neexistuje nějaké jiné řešení.

10 ϖ je zvláštní tvar řeckého písmene �, nikoli ω; v TEXu se píše “varpi.

– řešení problému 2 těles — rovnice kuželosečky: zpětná substituce dává fci r(φ):

r = \frac{p}{1 + e cos(φ − ϖ)} ,  (13)

což je obecná rce kuželosečky s ohniskem v počátku (tělese 1; 2. ohnisko je prázdné) ⇒ I. KZ e … excentricita, ϖ … délka pericentra, p … parametr. Můžeme rozlišit 4 případy:

kružnice e = 0  p = a
elipsa  0 < e < 1 p = a (1 − e^{2})
parabola e = 1  p = 2q
hyperbola e > 1  p = a (e^{2} − 1)

kde a označuje velkou poloosu a q vzdálenost pericentra. OBR říznutého kužele a elipsy Polární souřadnice φ je zvána pravá délka (měřená od osy x), často užíváme pravou anomálii f:

f = φ − ϖ ,  (14)

měřenou od pericentra. Potom pro elipsu je

r = \frac{a (1 − e^{2})}{1 + e cosf}  (15)

a kdybychom měli osu x orientovanou přímo do pericentra, bylo by:

x = r cosf , y = r sinf .

Užitečná je znalost vztahů pro vzdálenosti pericentra q a apocentra Q od ohniska:

q = a (1 − e) ,
Q = a (1 + e) ,

a také integrálu h vyjádřeného v orbitálních elementech:

h = \sqrt{pμ} = \sqrt{a(1 − e^{2})μ};  (16)

obojí plyne z geometrie elipsy.

– Jaký je vztah mezi periodou oběhu a rozměrem dráhy? plocha A elipsy opsaná za celou orbitální periodu

A = �ab = �a^{2} \sqrt{1 − e^{2}} = \frac{1}{2}r^{2} φ̇T = h \frac{T}{2} = \sqrt{a(1 − e^{2})μ} \frac{T}{2} ,

odtud

\frac{a^{3}}{T^{2}} = \frac{G(m_{1} + m_{2})}{4�^{2}}  (17)

⇒ 3. KZ Kepler ho neznal přesně (zanedbal m_{2} ≪ m_{1}) další užitečné tvary 3. KZ:

n^{2}a^{3} = μ ,  (18)

kde n = \frac{2�}{T} je střední pohyb; nebo

\frac{[a]_{AU}^{3}}{[T]_{yr}^{2}} = [M]_{M_{⊙}} = 1 ,  (19)

kterážto jednička platí v naší sluneční soustavě.

– měření hmotnosti planet(k)y se satelitem:

\frac{a^{3}}{T^{2}} = \frac{G(m_{⊙}+m_{planety} )}{4�^{2}} (ve sluneční soustavě) \frac{a^{′3}}{T^{′2}} = \frac{G(m_{planety} +m_{satelitu} )}{4�^{2}} (systém se satelitem)

(\frac{a}{a′} )^{3} (\frac{T′}{T} )^{2} = \frac{m_{⊙} + m_{p}}{m_{p} + m_{s}} ≃ \frac{m_{⊙}}{m_{p}}  (20)

zanedbání planety vůči Slunci a satelitu vůči planetě pro některé velké planetky je možné měřit m přímo z perturbací, které působí na planety (Standish & Hellings 1989) Ida a Dactyl z Galilea (Belton aj. 1995): ϱ = (2,6 ± 0,5) kg · m^{−3} pozn. o nejednoznačně určené trajektorii Dactylu a pravděpodobně vysokých porozitách asteroidů – Jaká je rychlost v dráze? (1 integrál energie)

Ještě existuje desátý integrál pohybu, který nám umožní snadno určovat velikost rychlosti v dráze (zatím znám jen r(φ) a II. KZ). Rci relativního pohybu (3) r̈ + μ\frac{r}{r^{3}} = 0 násobím skalárně rychlostí ṙ:^{11}

r̈ · ṙ+ μ\frac{ṙ}{r^{2}} = 0 ,

první neurčitý integrál je:^{12}

\frac{1}{2}v^{2} − \frac{μ}{r} = C ,  (21)

kde C je integrační konstanta; tj. integrál ţživé síly� (ZZE na jednotku hmotnosti).

Kolik je přesně C? Do výrazu pro v^{2} v polárních souřadnicích dosadíme z polární rce elipsy a použijeme ještě integrál momentu hybnosti h a III. KZ (vlastně to odvodíme znovu jinak):

v^{2} = ṙ· ṙ = ṙ· ṙ+ r^{2}φ̇^{2} = ṙ^{2} + (rḟ)^{2} ,  (22)

protože φ = f + ϖ, ϖ = konst. a φ̇ = ḟ. Jenže tam se kromě r vyskytuje ještě ṙ a ḟ. Proto ze známé rovnice elipsy (15) r = \frac{a(1−e^{2} )}{1+e cos f(t)} vypočítáme derivaci ṙ:

ṙ = −\frac{a(1 − e^{2})}{(1 + e cosf)^{2}} · e(− sinf)ḟ,

přičemž ḟ vyjádříme z integrálu h (16):

ḟ= \frac{na^{2} \sqrt{1 − e^{2}}}{r^{2}}

a vyjde:

ṙ = \frac{na}{\sqrt{1 − e^{2}}} e sinf ,

rḟ= \frac{na}{\sqrt{1 − e^{2}}} (1 + e cosf) .

11 Protože r = rr̂, ṙ = ṙr̂ + rφ̇φ̂ a r̂ · φ̂ = 0, je \frac{r}{r^{3}} · ṙ = \frac{rr̂·ṙr̂}{r^{3}} + \frac{rr̂·rφ̇φ̂}{r^{3}} = \frac{ṙ}{r^{2}} .

12 Protože v^{2} = ṙ· ṙ a (ṙ· ṙ)′ = 2r̈ · ṙ.

Vše dosadíme do (21) a upravíme:

v^{2} = \frac{n^{2}a^{2}}{1 − e^{2}} (e^{2} sin^{2} f + 1 + 2e cosf + e^{2} cos^{2} f) = \frac{n^{2}a^{2}}{1 − e^{2}} (e^{2} + 1 + 2e \overbrace{cosf}^{= (\frac{a(1−e^{2} )}{r} −1)\frac{1}{e}} ) =

= \frac{n^{2}a^{2}}{1 − e^{2}} (\frac{2a(1 − e^{2})}{r} − (1 − e^{2})) = n^{2}a^{3} (\frac{2}{r} − \frac{1}{a}) = μ (\frac{2}{r} − \frac{1}{a})

Vidíme, že integrační konstanta v (21) je C = −\frac{μ}{2a} a nezávisí na e; pro parabolickou dráhu C = 0, pro hyperbolickou C = +\frac{μ}{2a}. Maximální rychlost je v pericentru, kde r = q = a(1 − e):

v_{p}^{2} = μ (\frac{2}{a(1 − e)} − \frac{1}{a}) = \frac{μ}{a} \frac{2 − (1 − e)}{1 − e} = n^{2}a^{2} \frac{1 + e}{1 − e} ,

v_{p} = na\sqrt{\frac{1 + e}{1 − e}} ,  (23)

minimální v apocentru, při r = Q = a(1 + e):

v_{a} = na\sqrt{\frac{1 − e}{1 + e}} .  (24)

– Jaký je vztah mezi f a t? Doposud jsme měli totiž pouze závislost r(φ), nikoli r(t). Zjistíme to oklikou:

1. najdeme vztah mezi pravou anomálií f a excentrickou anomálií E; OBR opsané kružnice, E, f

2. mezi E a střední anomálií M = n(t − τ); M nemá jednoduchou geometrickou reprezentaci! τ označuje okamžik průchodu pericentrem

Ad 1) Z geometrie elipsy hned vidíme, že kartézské souřadnice:

x = a cosE − ae = r cosf ,
y = a\sqrt{1 − e^{2}} sinE = r sinf ,

pak

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{a^{2} cos^{2} E − 2a^{2}e cosE + a^{2}e^{2} + a^{2}(1 − e^{2}) sin^{2} E}
= a\sqrt{1 − 2e cosE + e^{2}(1 − sin^{2} E)} = a(1 − e cosE)

protože cosf = \frac{x}{r} = \frac{cos E−e}{1−e cos E} ⇒ ^{13}

tg \frac{f}{2} = \sqrt{\frac{1 + e}{1 − e}} tg \frac{E}{2} .  (25)

Ad 2) Napíšeme časové derivace souřadnic (x, y):

\begin{aligned}ẋ & = −a sinEĖ \\ ẏ & = a\sqrt{1 − e^{2}} cosEĖ \end{aligned}

a využijeme ţasi posté� integrálu h (7):

h = na^{2} \sqrt{1 − e^{2}} = |r × ṙ| = |(x, y, 0) × (ẋ, ẏ, 0)| = |(0, 0, yẋ − xẏ)|
= a^{2} \sqrt{1 − e^{2}} sin^{2} EĖ + a(cosE − e)a\sqrt{1 − e^{2}} cosEĖ

odkud dostaneme diferenciální rovnici pro funkci E(t):

Ė = \frac{n}{1 − e cosE} ,  (26)

neboli

dE (1 − e cosE) = n dt ,

jejíž neurčitý integrál je:

E − e sinE = nt + C .

Hraniční podmínka: pro E = 0 je t = τ ⇒ C = −nτ.

M = E − e sinE  (27)

Keplerova rce ← transcendentní :( neznáme algebraické vyjádření E(M)

– Jak řešit Keplerovu rovnici? 1. iterační metodou:

E_{i+1} = M + e sinE_{i} , E_{0} = M  (28)

E_{1} = M + e sinM, E_{2} = M + e sinE_{1}, …, dokud |E_{i+1} − E_{i}| > ϵ malé.

13 Využijeme vztahů pro poloviční úhel: sin^{2} \frac{f}{2} = \frac{1−cos f}{2} , cos^{2} \frac{f}{2} = \frac{1+cos f}{2} a vypočtu si 1−cos f =

\frac{1−e cos E−cos E+e}{1−e cos E} = \frac{(1+e)(1−cos E)}{1−e cos E} , 1 + cos f = \frac{(1−e)(1+cos E)}{1−e cos E} .

lepší počáteční odhad E_{0} = M + sgn(sinM) ke, kde k ∈ (0, 1], např. k = 0,85.

2. Newton–Raphsonovou metodou (obecná pro hledání kořenů fce f(x) = 0):

f(E) = E − e sinE − M ,

hledáme tedy f(E) = 0 postupnými iteracemi

E_{i+1} = E_{i} − \frac{f(E_{i})}{f′(E_{i})} ,  (29)

kde

f′(E) = 1 + e cosE

je derivace f(E) podle E. OBR Newton–Raphsonovy metody

3. analyticky, Fourierovým rozvojem:

Vychází z 1. iterační metody a použije součtový vzorec sin(α+β) = sinα cosβ+ cosα sinβ a Taylorovy rozvoje goniometrických funkcí sinx = x− \frac{1}{6}x^{3} +o(x^{5}) , cosx = 1 − \frac{1}{2}x^{2} + o(x^{4}) .

E_{1} = M + e sinM
E_{2} = M + e sin(M + e sinM)

≃ M + e sinM \overbrace{cos(e sinM)}^{._{=} 1}+e cosM \overbrace{sin(e sinM)}^{._{=} e sin M}

≃ M + e sinM + \frac{1}{2}e^{2} sin2M

E_{3} = M + e sin(M + e sinM + \frac{1}{2}e^{2} sin2M)

≃ M + (e − \frac{1}{8}e^{3}) sinM + \frac{1}{2}e^{2} sin2M + \frac{3}{8}e^{3} sin3M

⇒ Fourierova řada

E − M = ∑_{s=1}^{∞}b_{s}(e) sinsM ,  (30)

kde koeficienty

b_{s}(e) = \frac{2}{s}J_{s}(se)

jsou Besselovými funkcemi 1. druhu

J_{s}(se) = \frac{1}{�} ∫_{0}^{∞} cos(sE − se sinE)dE .

Pozor! Řada konverguje pouze do určitého maximálního e ≐ 0,66.