3. Měsíc

Hned po Slunci je Měsíc druhým nejjasnějším objektem na naší obloze. I ve městech, kde nejsou v noci vidět hvězdy, zahlédnou lidé alespoň Měsíc. Jedná se o našeho nejbližšího souseda. Průměrná vzdálenost Měsíce od Země je 384 400 kilometrů, což odpovídá třiceti průměrům Země. Poloměr je 1738 km. Jeho hmotnost dosahuje 7,35.10²² kg.

3.1 Pohyb Měsíce a měsíční fáze

Základním úkazem, který všichni znají, je střídání měsíčních fází (viz obrázek 3.1). Lunární Měsíc začíná neviditelným novem. O několik nocí později se objevuje na západní obloze krátce po západu Slunce srpek Měsíce. Vidíme Měsíc jako zahnutý úlomek. O hodinu či dvě později, co zapadne Slunce, zapadá i Měsíc. Noc co noc poté srpek dorůstá tak, jak se hranice světla a stínu posunuje po měsíčním disku. Měsíc stále později zapadá. Asi týden po novu dosahuje první čtvrti.

Astronomové rozeznávají celkem pět druhů měsíců (synodický, siderický, anomalistický, drakonický a tropický). Nás budou zajímat pouze první dva. Lépe se pamatuje synodický - souvisí s cyklem fází. Perioda měsíčního pohybu okolo Země s ohledem na postavení hvězd se nazývá hvězdný (siderický) měsíc. Trvá asi 27,3 dne. Měsíc se tedy posunuje východně přibližně o 13° za den, trochu více než 0,5° za hodinu vůči hvězdám.

Jelikož se jedná o pohyb po oběžné dráze, vychází Měsíc stále později. Zkuste následující pozorování: Sledujete východ Měsíce během jeho úplňku těsně po západu Slunce. Počkáte-li na další východ Měsíce, zjistíte, že se posunul východně. V průběhu západu Slunce se Měsíc stále nachází pod horizontem a vychází až asi 50 minut později. Sledujete-li Měsíc každou noc, zjistíte, že Měsíc v průměru vychází vždy o 50 minut později každý den.

Na Měsíci je vzhledem k jeho blízkosti od Země vidět již pouhým okem povrchové útvary. Už malý dalekohled ukáže Měsíc jako nerovný svět [3]. Jedná se zejména o moře a o krátery, pozůstatky po zásahu velkých meteoritů. Chceme-li studenty detailně seznámit s povrchem našeho nejbližšího souseda, můžeme to udělat několika způsoby: lze jednoduše v hodině vyjmenovat některé velké krátery a ukázat je na mapě Měsíce, můžeme studenty odkázat na interaktivní mapy či výukové programy, nebo jim lze zadat praktickou úlohu.

ÚLOHA 5: Zakreslete Měsíc v některé z jeho fází tak, jak je viditelný pouhým okem, případně můžete použít triedr. Snažte se zachytit co nejpřesněji všechny detaily.

Je nutné studentům předem říci, jak bude vypadat pozorovací arch, případně jim ho předem předkreslit a namnožit. Na pozorovacím archu by nemělo chybět toto:

 
Obrázek 3.2: Kresba Měsíce slečny Štěpánky Staňkové, 4.B, Gymnázium Opatov

Stejnou úlohu jsem zadal své třídě na Gymnáziu Opatov. Jedná se o žáky čtvrtého ročníku osmiletého gymnázia, tedy srovnatelné jako devátá třída na základní škole. Jejich skici tu s jejich svolením používám jako názorné ukázky.

Ilustrace mohou vypadat podobně jako na obrázku 3.2. Je vidět, že bylo použito “univerzální” předlohy - zadával jsem úkol na dobu přibližně tří týdnů. Na předloze bylo mimo obrázku nutno dopsat jméno, techniku, datum a čas a pozorovací podmínky.

Hned napoprvé se asi studentům zakreslit moře na Měsíci nepodaří. Hlavním problémem nejspíše bude nesprávné umístění útvarů do skici. Jedná se o to, že studenti nemají předem výtvarnou průpravu, která by jim umožnila snadnější zakreslení objektů na správné místo.

Obrázek 3.3: Kresba Měsíce slečny Jany Braňkové, 4.B, Gymnázium Opatov

Nakreslených skic lze tedy využít k poznávání povrchu Měsíce. Z obrázků lze vyčíst ta moře, která studenti pozorovali. Pro snazší rozpoznání jednotlivých moří na Měsíci přikládám jako Přílohu B mapku měsíčních útvarů rozpoznatelných prostým okem. Obsahuje jen ty nejdůležitější útvary, a tak je přehlednější než podrobné mapy Měsíce ze zeměpisných atlasů.

Obrázek 3.4: Kresba Měsíce slečny Lucie Vilhelmové, 4.B, Gymnázium Opatov

Na obrázku č. 3.2 není moc dobře poznat severní a jižní pól Měsíce. Lze jen těžko identifikovat jednotlivá moře. Budeme-li předpokládat, že je Měsíc umístěn svým severním pólem nahoru, potom lze moře nalevo snad rozpoznat jako Mare Fecunditatis (Moře Plodnosti) a moře dole snad je Mare Nectaris (Moře Nektaru). Tři menší moře u terminátoru (hranice světla a stínu) nedokážu identifikovat.

Na obrázku č. 3.3 je vše vidět lépe. Ač je v něm vše posunuté směrem k severu, přesto lze určit velice dobře tato moře: Mare Serenitatis (Moře Jasu), Mare Tranquillitattis (Moře Klidu), Mare Fecunditatis (Moře Plodnosti), Mare Crisium (Moře Sporů) a Mare Vamporum (Moře Par).

Všechny tyto útvary se podařilo zakreslit jedné žákyni tak, že by se za to nemusel stydět ani malíř (viz obr. č. 3.4). Tato žákyně měla pravděpodobně již někdy dříve výtvarnou průpravu, nebo je velmi nadaná.

Krátery na Měsíci byly vesměs vytvořeny dopady velkých i malých těles, zejména v období před přibližně čtyřmi miliardami roků. Při dopadu tělesa o typické hmotnosti miliónů tun a typické rychlosti několika km/s až desítek km/s se uvolní energie řádově několika gigajouleů. To stačí na to, aby se všechna hmota tělesa okamžitě vypařila a způsobila obrovský výbuch, po kterém zůstane kruhový kráter.

Tolik nabízí o kráterech [1]. Přesto by se studenti mohli ještě dozvědět, že prvním nám známým vědcem, který popsal metodu, jak změřit výšku měsíčních pohoří, tedy i valů měsíčních kráterů, byl Galileo Galilei (1564 - 1642). Později byla využívána metoda stínů, kterou v tomto úkolu budeme používat i my. (Popsána je v [2], str.26 až 30.)

Úkol tedy zní:

Jak budeme postupovat při řešení tohoto úkolu?

Nejprve je potřeba si sehnat pěkné fotografie Měsíce v první nebo v poslední čtvrti. Mnoho takových fotografií obsahuje například [6]. Z této publikace jsem vybral listy číslo 9, 10, 12, 24, 25 a 26 (list číslo 11 máme na ukázku na obr. č. 3.5). Připadaly mi nejvíce vyhovující. Nemusíme však studentům bránit v nafotografování jejich vlastních snímků.

Obrázek 3.5: List 11 z Berlínského atlasu Měsíce autorů Voighta a Gieblera

Máme-li fotografii, potom si musíme vybrat kráter, který chceme proměřit. V tom pomůže libovolný atlas Měsíce. Při první či poslední čtvrti je na disku Měsíce k vidění spousta kráterů. Je důležité si vybrat takový, jehož stín je velice dobře patrný a lze dobře odhadnout jeho délku. Čím bude kráter ležet blíže středu lunárního disku, tím přesnější bude výsledek - minimalizujeme tím totiž zkracování stínu. Nejlépe je si vybrat kráter, o kterém předem víme, že má konstantní hloubku a u kterého jeho stín zasahuje přesně polovinu kráteru.

Na obrázku č. 3.6 je schematicky znázorněna celá situace okolí kráteru. Veličina h udává výšku kráterové stěny (tedy hloubku kráteru), délka stínu je d a úhel, který svírají paprsky Slunce od dna kráteru je označen j . Z obrázku je patrné, že platí:

Situaci vidíme i na obrázku č. 3.7, kde je znázorněna z pohledu pozorovatele mimo Měsíc. Zde je patrné, že pravoúhlý trojúhelník CDE, jehož přeponou je poloměr Měsíce R, je podobný trojúhelníku ABC. Tedy platí, že úhel φ je shodný s úhlem CDE. Navíc platí:

Hodnota úhlu φ je typicky přibližně 10° . Hodnoty sinu a tangens tak malých úhlů jsou přibližně stejné. A s užitím této aproximace lze tedy psát:

Hodnoty l, d a R lze naměřit z fotografie, skutečnou hodnotu R studenti znají, je to 1738 km. (Můžeme zjistit poloměr Měsíce z jiného měření, které by studenti také zvládli, ale není potřeba se tím v této úloze zatěžovat.)

Studenti druhého ročníku Gymnázia Opatov dostali za úkol proměřit několik kráterů. Jednalo se o práci ve skupinách, přičemž každá skupina studentů dostala arch, do kterého dopisovala naměřené údaje (viz Příloha C: Měření hloubky kráterů na Měsíci), okopírovanou fotografii Měsíce z [6] a mapku kráterů na Měsíci.

Pro naše sledování je důležitý sloupec předposlední, ve kterém jsou uvedeny spočítané hodnoty hloubek kráterů, a sloupec poslední, ve kterém jsou zapsány skutečné hloubky kráterů na Měsíci, zjištěné z knihy [7]. Bohužel, u některých kráterů nebyly hloubky k dispozici, jednalo se zejména o krátery s proměnlivým dnem. Proto je místo jejich hodnot doplněn otazník.

Podíváme-li se do tabulky, je vidět, že naměřené hodnoty spadají do intervalu 0,1 až 14,8 km. Přesto se lze v pramenech dočíst, že “výšky valů kráterů jsou malé” (viz str. 200 v [3]). Podle ing. Rükla [12] z Planetária hlavního města Prahy nabývají hloubky kráterů hodnot do 6 km. Graficky zpracované hloubky všech kráterů, které byly k dispozici v [7], jsou v Příloze D (Grafické zpracování hloubek kráterů na Měsíci).

Tab.č.2: Naměřené hodnoty hloubek kráterů na Měsíci

č.	kráter	foto	autor	R/mm	R/km	d/mm	d/km	l/mm	l/km	h/mm	h/km	h/km
1	Agrippa	10	Učitel	101	1738	18	310	1,0	17,2	0,2	3,1	3,07
2	Archimedes	12	Učitel	101		4	69	0,5	8,6	0,0	0,3	2,15
2	Archimedes	24	2.Q	100		14	243	4,0	69,5	0,6	9,7	2,15
3	Aristillus	24	2.Q	100		6,5	113	2,0	34,8	0,1	2,3	3,65
4	Aristoteles	9	Učitel	101		4	69	4,0	68,8	0,2	2,7	?
4	Aristoteles	10	Učitel	101		15	258	2,5	43,0	0,4	6,4	?
4	Aristoteles	24	2.Q	100		12	209	4,0	69,5	0,5	8,3	?
5	Autolycus	12	Učitel	101		12	206	1,0	17,2	0,1	2,0	3,43
5	Autolycus	24	2.Q	100		6	104	1,0	17,4	0,1	1,0	3,43
7	Clavius	25	2.Q	103		9	152	2,5	42,2	0,2	3,7	?
8	Cyrillus	9	Učitel	101		28	482	3,0	51,6	0,8	14,3	?
9	Eudoxus	10	Učitel	101		17	293	2,0	34,4	0,3	5,8	?
9	Eudoxus	9	Učitel	101		7	120	3,0	51,6	0,2	3,6	?
9	Eudoxus	24	2.Q	100		13	226	3,0	52,1	0,4	6,8	?
10	Godin	10	Učitel	101		17	293	1,3	21,5	0,2	3,6	3,2
11	Hell	12	Učitel	101		1	17	0,5	8,6	0,0	0,1	2,2
12	Hercules	9	Učitel	101		28	482	2,0	34,4	0,6	9,5	?
13	Herschel	12	Učitel	101		7	120	1,0	17,2	0,1	1,2	3,77
14	Horrocks	12	Učitel	101		23	396	1,0	17,2	0,2	3,9	2,98
15	Kopernikus	26	2.Q	101		19	327	1,5	25,8	0,3	4,9	3,76
16	Manilius	10	Učitel	101		15	258	1,5	25,8	0,2	3,8	3,05
17	Plato	24	2.Q	100		17	295	5,0	86,9	0,9	14,8	?
17	Plato	25	2.Q	103		11	186	5,0	84,4	0,5	9,0	?
18	Theophilius	9	Učitel	101		32	551	2,5	43,0	0,8	13,6	4,4
18	Theophilius	10	2.Q	99,8		40	697	1,0	17,4	0,4	7,0	4,4
19	Triesnecker	12	Učitel	101		17	293	0,8	12,9	0,1	2,2	2,76
20	Tycho	12	Učitel	101		4	69	2,5	43,0	0,1	1,7	4,85

Důležité však je, že jsme zjistili přibližné hodnoty hloubek kráterů, jde nám o řády, nikoli o přesná čísla. Pokud by se některý ze studentů chtěl o hloubky kráterů zajímat, lze ho odkázat na lepší zdroje. S využitím přesnějších metod (už jen aproximace na zakřivení povrchu Měsíce, studia měření referenčních bodů, případně využití počítačové techniky na studium přechodu stínu a světla na fotografiích) lze docílit vědecky přesného způsobu měření. Amatérský astronom Bill Davis proměřil takto většinu hor na Měsíci a porovnal údaje se skutečnými, sondami proměřenými údaji [13]. Metoda vedla k velice přesným výsledkům (průměrná celková chyba byla 11 %, což je srovnatelné s jinými metodami určování výšek).

Měsíc je jediné nebeské těleso, jehož vzdálenost od Země lze předpovědět jednoduchou geometrickou technikou s přesností na několik stovek kilometrů. Jestliže známe tuto vzdálenost, a navíc úhlovou velikost Měsíce, můžeme spočítat i poloměr Měsíce.

Hodnoty vzdálenosti a poloměru Měsíce jsou známy již od antiky. V Ptolemaiově Almagestu (150 n. l.) je vzdálenost určena jako 59 poloměrů Země. Aristarchos (asi 320 až 250 před n. l.) dokonce popsal, jak najít vzdálenost Země od Slunce v závislosti na vzdálenosti Země od Měsíce.

Naším úkolem bude toto:

Tento úkol nepatří mezi jednoduché úlohy z astronomie, jedná se již spíše o metodu složitější. Ale není důvod, aby ji zájemci o astronomii na střední škole nedokázali naměřit. Budeme potřebovat následující:

Princip metody (podle [2] str. 22 až 25) je zřejmý z obrázku č. 3.8. Měsíc vyfotografujeme ve stejném čase (případně tak blízkých časech, jak je to možné) ze dvou míst A a B, jejichž vzájemnou vzdálenost známe. Na každé fotografii bude měsíční disk posunut vůči pozadí hvězd. Vzdálenost hvězd můžeme pokládat vzhledem k hledané vzdálenosti r za nekonečnou. Úhlové posunutí p (paralaxa) je závislé právě na hledané vzdálenosti r, vzdálenosti obou míst d a úhlem mezi Měsícem a místem B, pozorovaným z místa A, a . Závislost lze popsat vztahem, který je odvozen z platnosti sinové věty pro obecný trojúhelník:

Úhel a je nutno proměřit úhloměrem, případně ho lze odhadnout. Je-li z místa A vidět na místo B, je to snadné. V případě, že je místo B ve velké vzdálenosti, nebo není vidět, potom je nutné tento úhel odhadnout jinak, případně využít zeměpisného atlasu a využitím jednoduchých výpočtů z geometrie. Pokud místa A, B, střed Země a Měsíc leží ve stejné rovině, pak je a výška Měsíce, měřená jako úhel od horizontu směrem k zenitu. Další možností, jak určit vzdálenost dvou míst, je využít navigačního systému GPS, který pomocí 24 družic dokáže lokalizovat polohu přijímače.

Abychom proměřili paralaxu p, musíme vyfotografovat Měsíc ve stejný čas ze dvou míst A a B. Čím vzdálenější tato místa budou, tím větší bude p. Každých 110 km vzdálenosti znamená rozdíl jedné úhlové minuty (viz [2] str 23). Tento rozdíl znamená pro fotografickou kameru s ohniskovou vzdáleností 1 m posunutí o 1/3 mm. Už to je měřitelné.

Nyní je ještě nutné přepočítat naměřené p v mm na úhlovou míru. Nejjednodušší je to v případě, že znáte úhlovou vzdálenost hvězd, které jsou v pozadí na snímku. Jednoduchým přepočtem pak získáme i hledanou úhlovou vzdálenost p. Pokud ji neznáme, musíme přepočítat měřítko negativu, ve stupních na milimetr negativu, které je určeno ohniskovou vzdáleností fotografického přístroje. Platí vztah ([2] str. 18):

Potom je tedy měřítko obrázku Q stupňů na délku políčka negativu. Pokud tedy máme políčko negativu dlouhé 36 mm (odpovídá to klasickému políčku negativu 24´ 36 mm) a ohnisková vzdálenost objektivu fotoaparátu je 135 mm, potom na negativu odpovídá každému milimetru 0,415° . Lze tedy změřit p.