Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Spektrální věta - část důkazu

Důkaz

Důkaz spektrální věty je poměrně dlouhý - několik stránek, uvedu zde tedy jen část důkazu, doufám že tu lehčí :)

A je diagonalizovatelná vlastnosti 1,2,3,4

Nechť je algebraická násobnost vlastního čísla pro . Matice A je diagonalizovatelná, tedy dle Definice 3 existuje regulární matice P řádu n taková, že součin je diagonální matice, a tato diagonální matice má na diagonále vlastní čísla matice A dle důsledku tvrzení 7 TODO. Tedy

| (4)

kde jsou jednotkové matice řádu . Označíme pro symbolem matici, kterou dostaneme z blokové matice na pravé straně poslední rovnosti tak, že nahradíme všechny výskyty vlastního čísla číslem 1 a výskyty ostatních vlastních čísel pro číslem 0. Například

Jedná se vlastně o "částečnou" jednotkovou matici, která má pouze na části diagonály čísla 1. Pak platí:

V první rovnosti jsme vlastně jen sečetli "částečné jednotkové matice" a výsledek je jednotková matice. Pokud všechny matice vynásobíme vlastními čísly a sečteme je, dostaneme matici na pravé straně rovnice (). A ve třetí rovnosti se jen zbavíme matic a na levé straně.

Položíme pro a dostaneme tak z třetí rovnosti vlastnost 1.

Protože a pro libovolné různé indexy , dostáváme

což dokazuje vlastnosti 2,3,4. V první rovnosti jsme využili, že , ve druhé jsme využili a ve třetí .

Opačnou implikaci, tedy že z vlastností 1,2,3,4 plyne diagonalizovatelnost matice nebudu dokazovat. Ze zbývajících vlastností 5,6,7,8 dokážu vlastnosti 6 a 7.

Vlastnost 6

Matice (z předchozího důkazu), má hodnost , proto má tutéž hodnost i matice , což dokazuje 6.

Vlastnost 7

Tento důkaz vypadá na první pohled odporně ale nenechte se odradit :) je to pouze rozepisování sum.

Dle vlastnosti 1 :

to se rovná (jen přepsaní na sumu, násobení každý s každým)

dáme li matice k sobě, vznikne nám což je dle vlastnosti 3 rovno nule (pro různé indexy i a j), tyto násobení tedy můžeme ignorovat a přepsat sumu tak, aby se mezi sebou násobili pouze matice se stejným indexem. Dále víme z vlasnosti 2 že , tedy

jestliže nyní předpokládáme

pro nějaké , pak dostáváme (a upravujeme stejně jako v předchozím případě)

Protože rovněž platí

tedy jsme dokázali, že rovnost

platí pro každé nezáporné celé číslo . Pro každé číslo dostáváme

a tedy platí