Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Parciální derivace a totální diferenciál

Definice (Parciální derivace)

Nechť , , . Potom parciální derivací funkce podle i-té složky v bodě X nazveme limitu

pokud tato limita existuje a je vlastní.

Definice (Derivace ve směru vektoru)

Nechť , , . Potom derivací funkce ve směru vektoru v nazveme limitu

pokud tato limita existuje a je vlastní.

Definice (Gradient)

Nechť , a nechť existují všechny parciální derivace funkce v bodě a jsou vlastní. Pak vektor nazýváme gradientem funkce v bodě .

Definice (Totální diferenciál)

Nechť , a nechť . Existuje-li lineární zobrazení takové, že platí:

potom toto zobrazení nazýváme totální diferenciál funkce v bodě .

Definice (Parciální derivace druhého řádu)

Nechť otevřená, a nechť má funkce parciální derivaci . Pak pro definujeme parciální derivaci druhého řádu (podle i-té a j-té složky) jako .

Definice (Druhý diferenciál)

Nechť a . Řekneme, že má v bodě druhý diferenciál, pokud každá parciální derivace má v bodě totální diferenciál. Druhý diferenciál je bilineární zobrazení a má tedy následující tvar:

Použijeme-li analogii gradientu pro první diferenciál, můžeme říct, že druhý diferenciál je reprezentován maticí:

| (1)

Definice (Klasifikace bilineárních forem)

Nechť je bilineární forma.

- se nazývá pozitivně definitní, pokud tak, že , .
- se nazývá negativně definitní, pokud je pozitivně definitní.
- se nazývá indefinitní, pokud a pro nějaké .

Poznámka

Při určování toho, zda je bilineární forma pozitivně definitní, negativně definitní, nebo indefinitní nám může pomoci tzv. Sylvestrovo kritérium, které tvrdí následující:

- jsou-li všechny hlavní subdeterminanty matice reprezentující bilineární formu kladné, potom je pozitivně definitní.
- jestliže je první hlavní subdeterminant této matice záporný a poté alterují znaménka, je forma negativně definitní.
- nenastává-li ani jedna z předchozích dvou možností a všechny hlavní subdeterminanty jsou nenulové, je indefinitní.

Pakliže nenastane žádná z výše uvedených možností, Sylvestrovo kritérium nám nepomůže a je nutno o typu bilineární formy rozhodovat jiným způsobem (např. pomocí vlastních čísel).

Věta (Tvar totálního diferenciálu)

Nechť má v bodě totální diferenciál. Potom:

- pro existuje vlastní a platí .
- existují všechny parciální derivace a pro (neboli ).
- je spojitá v .

Věta (Aritmetika totálního diferenciálu)

Nechť mají v bodě totální diferenciál. Nechť . Potom existují totální diferenciály , , . Pokud navíc existuje i . Navíc platí:

- .
- .

Věta (Diferenciál složeného zobrazení)

Mějme funkci a funkcí . Nechť a a . Nechť existují a . Definujeme-li zobrazení předpisem , potom má v bodě totální diferenciál a pro platí

Z čehož plyne tzv. řetízkové pravidlo, tj.:

Věta (Postačující podmínka pro existenci totálního diferenciálu)

Nechť má v bodě spojité všechny parciální derivace. Potom má v bodě totální diferenciál.

Věta (Postačující podmínka pro existenci druhého diferenciálu)

Nechť je otevřená a má spojité parciální derivace druhého řádu na M. Potom má v každém bodě z druhý diferenciál.

Věta (Záměnnost parciálních derivací druhého řádu)

Mějme funkci . Nechť má spojitou parciální derivaci . Potom existuje i a obě tyto parciální derivace druhého řádu se rovnají.

Důsledek

Důsledkem dvou právě uvedených vět je fakt, že matice, která reprezentuje druhý diferenciál funkce v bodě (tedy hovoříme o situaci, kdy má v bodě druhý diferenciál), je symetrická.