Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Spojitost za předpokladu stejnoměrné konvergence

Definice (Bodová/stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí)

Řekneme, že posloupnost funkcí konverguje bodově k funkci na množině (značíme ), jestliže pro každé platí , tj. jestliže

Řekneme, že posloupnost konverguje stejnoměrně k funkci na množině (značíme ), jestliže

Řekneme že posloupnost funkcí je stejnoměrně konvergentní na , jestliže konverguje k nějaké funkci na .

Definice

konverguje lokálně stejnoměrně k funkci na množině (značíme na ), jestliže pro každé existuje takové, že na .

Věta (Kritérium stejnoměrné konvergence)

Nechť je (neprázdná) množina, funkce definovaná na a posloupnost funkcí definovaných na . Pak , právě když:

tj. existuje takové, že pro je definováno (a konečné) a tato posloupnost má limitu 0.

Věta (Bolzano-Cauchyho podmínka pro stejnoměrnou konvergenci)

Nechť je (neprázdná) množina, posloupnost funkcí definovaných na . Pak posloupnost je stejnoměrně konvergentní na , právě když:

Věta (O záměně limit, Moore-Osgoodova)

Nechť , je funkce definovaná na a posloupnost funkcí definovaných na . Dále nechť na a pro každé existuje vlastní . Pak existují vlastní limity a a platí:

Analogicky v bodě zleva...

Poznámka

Jiný zápis je, že platí:

a navíc jsou tyto limity vlastní, pokud pro každé existuje vlastní limita a posloupnost je stejnoměrně konvergentní na pro nějaké . Tato věta platí i pro oboustranné limity.

Věta (Spojitost limitní funkce)

Nechť je interval, f funkce definovaná na a posloupnost funkcí definovaných na . Jestliže je spojitá na I pro každé a na , pak je spojitá na .

Věta (Záměna limity a derivace)

Nechť a je posloupnost funkcí definovaných na intervalu , které mají v každém bodě vlastní derivaci. Nechť dále platí:

1. Existuje takové , že posloupnost je konvergentní
2. Posloupnost je stejnoměrně konvergentní na

Pak posloupnost je stejnoměrně konvergentní na , a označíme-li její limitu, pak funkce má v každém bodě vlastní derivaci a platí .

Definice (Bodová/stejnoměrná konvergence řady funkcí)

Řekneme, že řada konverguje bodově na množině , pokud posloupnost jejich částečných součtů je bodově konvergentní na , tj, pro každé konverguje řada .

Součtem řady nazveme funkci

pokud řada konverguje bodově na .

Řekneme, že řada konverguje stejnoměrně na množině , pokud posloupnost jejich částečných součtů je stejnoměrně konvergentní na .

Je-li navíc , řekneme, že řada konverguje lokálně stejnoměrně na množině , pokud posloupnost jejich částečných součtů je lokálně stejnoměrně konvergentní.

Věta (Nutná podmínka stejnoměrné konvergence řady)

Nechť řada konverguje stejnoměrně na množině . Pak na .

Věta (Srovnávací kritérium pro stejnoměrnou konvergenci)

Nechť M je (neprázdná) množina a , dvě posloupnosti funkcí definovaných na M, pro které platí pro všechna . Jestliže řada konverguje stejnoměrně na M, pak i řada konverguje stejnoměrně na .

Věta (Weierstrassovo kritérium)

Nechť je (neprázdná) množina, posloupnost funkcí definovaných na a konvergentní řada reálných čísel. Pokud pro každé platí , pak řada konverguje stejnoměrně na .

Věta (Leibnizovo kritérium pro stejnoměrnou konvergenci)

Nechť je (neprázdná) množina, posloupnost funkcí definovaných na splňujících obě podmínky:

1. Pro všechna a je
2. na

Pak řada konverguje stejnoměrně na .

Věta (Dirichletovo a Abelovo kritérium)

Nechť je (neprázdná) množina a , dvě posloupnosti funkcí definovaných na , přičemž pro každé a každé platí . Nechť navíc platí alespoň jedna z podmínek:

1. (Abelovo) Řada konverguje stejnoměrně na M, pro každé pevné je posloupnost hodnot funkcí monotónní (klidně pro každé jinak) a existuje takové, že (tj. je stejnoměrně omezená na ).
2. (Dirichletovo) Existuje takové, že pro všechna a je (tj. posloupnost část. součtů je stejnoměrně omezená na ) a dále na (konverguje stejnoměrně k nulové funkci).

Pak řada konverguje stejnoměrně na .

(Pozn. autora: Dále platí i věty ekvivalentní větám o záměně limit při posloupnostech...)