Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

### Komplexní, reálné a racionální polynomy

Definice (Algebraicky uzavřené těleso)

Nechť je těleso a jeho nadtěleso. Prvek je algebraický nad , pokud existuje nějaký nenulový polynom z , jehož je kořenem. Pokud žádný takový polynom neexistuje, nazývá se prvek transcendentní. Těleso je algebraicky uzavřené, pokud všechny nad ním algebraické prvky jsou i jeho prvky (jsou v něm obsaženy).

Poznámka

Každý polynom v okruhu polynomů o jedné neznámé nad algebraicky uzavřeným tělesem se rozkládá na kořenové činitele.

Věta (Základní věta algebry)

Těleso komplexních čísel je algebraicky uzavřené.

Důsledek

Proto má každý polynom stupně alespoň 1 v rozklad tvaru , kde a jsou navzájem různá.

Věta (Komplexně sdružené kořeny v )

Má-li polynom nad s reálnými koeficienty ( ) kořen , pak je jeho kořenem i , tedy číslo komplexně sdružené s .

Důsledek

Polynom stupně alespoň 1 má v rozklad tvaru

a polynomy , kde mají za kořeny dvojice komplexně sdružených čísel (která nejsou čistě reálná). Navíc .

Důsledek

Každý polynom v lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen.

Věta (Ireducibilní polynomy v )

V existují ireducibilní polynomy libovolného stupně většího nebo rovného jedné (tj. ne vždy existuje rozklad na kořenové činitele, ani rozklad na polynomy stupně max. 2 jako v reálných číslech).