Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Cauchy-Schwarzova nerovnost

Věta (Cauchyho-Schwarzova nerovnost)

Nechť je prostor se skalárním součinem nad a je norma odvozená ze skalárního součinu. Potom platí:

Důkaz

Pro nebo máme .

Pro libovolné platí (platí i bez )

Zvolíme (tím se eliminují a )

Po dosazení:

0 |  |  |
0 |  |  |

Druhý možný důkaz

Nadefinujeme proměnnou a zavedeme funkci

Víme: (z axiomu 1 skal. součinu). Z linearity plyne, že . Tj. dostáváme jako kvadratickou funkci proměnné :

Protože má nezáporné hodnoty na celém , musí mít tato rovnice max. jedno řešení, tj. diskriminant při počítání kořenů nesmí být kladný:

Po vydělení čtyřmi a odmocnění dostáváme:

Důsledek

Platnost trojúhelníkové nerovnosti pro normy odvozené od skalárního součinu - tj. normy odvozené od skalárního součinu splňují všechny axiomy normy.

Důsledek

Nechť , jsou dva vektory, pak pro standardní skalární součin platí

po dosazení do Cauchy-Schwarzovy nerovnosti okamžitě dostaneme nerovnost mezi aritmetickým a kvadratickým průměrem

Důsledek

Ve vektorových prostorech nad a lze definovat úhel, svíraný dvěma vektory:

a Cauchyho-Schwarzova nerovnost zaručuje, že .

Důsledek

Z takto definovaného úhlu mezi dvěma vektory plyne i kosinová věta: