Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Kolmost

Definice (kolmé vektory)

Vektory a z prostoru se skalárním součinem jsou vzájemně kolmé (ortogonální), pokud , značíme .

Definice (ortogonální a ortonormální systém)

Soustava (systém) vektorů se nazývá ortogonální, jestliže ( ) pro (tj. všechny její vektory jsou navzájem kolmé).

Platí-li ještě navíc pro , jedná se o soustavu ortonormální (vektory jsou kolmé a navíc mají jednotkovou normu).

Pozorování

Každý systém nenulových vzájemně kolmých vektorů (tj. i ortonormální nebo ortogonální) je lineárně nezávislý.

Důsledek

Jestliže ortogonální systém generuje celý vektorový prostor, je jeho bází.

Algoritmus (Gram-Schmidtova ortogonalizace)

Tento algoritmus zajišťuje převedení libovolné báze vektorového prostoru na ekvivalentní ortogonální bázi . Ortonormalizace báze už po jeho proběhnutí znamená jen vynásobení každého číslem . Jeho průběh:

1. Zvolme .
2. Pro postupně od do opakujme:

   Najdi tak, aby pro platilo:

   Dá se ukázat že koeficienty jsou tvaru

3. Po iteracích dostaneme jako ortogonální bázi prostoru .

Alternativní postup - Gram-Schmidtova normalizace:

1. Dány: lineárně nezávislé.
2. Pro proveď:

3. Ukonči: je ortonormální systém ve a

Důsledek

Buď báze vekt. prostoru se skal. součinem. Potom existuje ortonormální báze , kdy pro každé je . Díky tomu se každý ortogonální systém vektorů v konečnědimensionálním vekt. prostoru se skalárním součinem dá rozšířit na ortogonální bázi (to můžeme díky Gram-Schmidtově ortogonalizaci a Steinitzově větě o výměně).

Věta (Fourierovy koeficienty)

Máme-li danou nějakou ortonormální bázi vektorového prostoru , pak pro každé platí:

a souřadnice nazveme Fourierovy koeficienty vektoru .

Poznámka

Fourierovy řady jsou souřadnice funkcí ve vektorovém prostoru spojitých funkcí na se skalárním součinem