Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Soustavy lineárních diferenciálních rovnic

Definice (Soustava lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu)

Diferenciální rovnice 1. řádu jsou takové, ve kterých se vyskytují maximálně první derivace. Soustavou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu rozumíme soustavu rovnic

a je neznámých funkcí, a jsou zadané funkce (celkem je jich ) na otevřeném intervalu .

Maticově lze totéž vyjádřit jako:

Poznámka (Převod jedné rovnice n-tého řádu na soustavu prvního řádu)

Je zřejmé, že funkce je na otevřeném intervalu řešením rovnice

, právě když jsou funkce řešením soustavy

Lineární diferenciální rovnice -tého řádu je pak ekvivalentní soustavě lin. rovnic 1. řádu:

Věta (O jednoznačném řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic)

Nechť jsou spojité funkce definované na pro . Potom soustava lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu

s počátečními podmínkami (kde , ) má na jednoznačné řešení, tj. existuje právě jedna matice funkcí se spojitými derivacemi (neboli z množiny ), která splňuje

pro každé a každé .

Důsledek

Pokud se dvě řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu shodují v jednom bodě intervalu , pak se shodují na celém .

Definice (Množiny řešení homogenní a nehomogenní soustavy)

Pro soustavy lineárních dif. rovnic prvního řádu definujeme:

- jako množinu řešení homogenní soustavy,
- jako množinu řešení nehomogenní soustavy.

Věta (O množinách řešení)

Pro nějakou lineární dif. rovnici prvního řádu je z přechozí definice vektorový podprostor prostoru o dimenzi . je afinní podprostor dimenze a platí .

Definice (Fundamentální systém řešení)

Každou bázi prostoru nazveme fundamentálním systémem řešení.

Definice (Wronskián)

Wronského determinant neboli wronskián -tice funkcí (kde a ) je funkce definovaná předpisem:

Tato matice funkcí se někdy označuje jako fundamentální matice.

Věta (Wronskián a fundamentání systém řešení)

V případě, že funkce jsou řešením homogenní soustavy lin. diferenciálních rovnic prvního řádu , platí:

jsou lineárně závislé, právě když .
A wronskián je nulový ve všech bodech intervalu , právě když je nulový pro jedno . To znamená, že pokud má na v nějakém bodě nulový wronskián, pak není fundamentálním systémem řešení rovnice , v opačném případě však ano.

Věta (O variaci konstant pro soustavu lin. diferenciálních rovnic 1. řádu)

Nechť je otevřený interval, , spojité maticové funkce a (kde ) je fundamentální systém řešení homogenní soustavy rovnic . Nechť a jsou dané počáteční podmínky a je matice funkcí fundamentálního systému řešení - fundamentální matice (jejíž determinant by byl wronskián).

Pak vektorová funkce daná předpisem

je řešením nehomogenní soustavy a splňuje počáteční podmínku .

Poznámka

Variace konstant nám dovoluje získat řešení soustavy pro nějakou konkrétní pravou stranu rovnic, známe-li fundamentální systém řešení.