Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

### Největší společný dělitel

Definice (Komutativní monoid s krácením)

Monoid je komutativní monoid s krácením, pokud operace je komutativní a navíc splňuje

Definice (Dělení, asociovanost)

O prvcích nějakého komutativního monoidu s krácením řekneme, že dělí (, je dělitelné ), pokud existuje takové , že . Řekneme, že je asociován s (), jestliže a zároveň .

Definice (Obor integrity)

Obor integrity je takový komutativní okruh , ve kterém platí, že implikuje nebo .

Příklady

1. je obor integrity.
2. Pro každý obor integrity je komutativní monoid s krácením (multiplikativní monoid).

Poznámka (Vlastnosti )

V komutativním monoidu s krácením platí pro , že , právě když existuje invertibilní prvek z takový, že . Relace tvoří kongruenci na a faktoralgebra podle této kongruence je také komutativní monoid s krácením (relace na něm tvoří uspořádání).

Definice (Největší společný dělitel)

Mějme komutativní monoid s krácením a v něm prvky . Prvek nazveme největším společným dělitelem prvků , pokud pro všechna a zároveň libovolný prvek , který dělí všechna dělí i . Píšeme .

Stejně se definuje největší společný dělitel pro obory integrity (bereme obor integrity jako komutativní monoid s krácením ).

Definice (Ireducibilní prvek, prvočinitelé)

Prvek komutativního monoidu s krácením nazveme ireducibilním, pokud není invertibilní a zároveň pro nějaké vždy implikuje nebo . Prvek nazveme prvočinitelem, pokud není invertibilní a zároveň pro vždy implikuje nebo .

Na oborech integrity se prvočinitelé a ireducibilní prvky definují stejně.

Věta (Vlastnosti )

V komutativním monoidu s krácením pro prvky platí:

1. .
2. existuje .

Věta (Vlastnosti prvočinitelů)

V komutativním monoidu s krácením je každý prvočinitel ireducibilní. Pokud navíc pro každé dva jeho prvky existuje největší společný dělitel, je každý ireducibilní prvek prvočinitelem.