Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Spojitost, limita funkce v bodě (vlastní i nevlastní)

Definice (Limita)

Řekneme, že má v bodě limitu , jestliže

a značíme

Platí-li tato vlastnost jen pro pravá okolí bodů a , mluvíme o jednostranné limitě zprava a podobně zleva.

Definice (Spojitost v bodě)

Řekneme, že je spojitá v bodě , jestliže

Věta (Heineho věta)

Nechť . Nechť je definováno na nějakém prstencovém okolí bodu . Potom následující dvě tvrzení jsou ekvivalentní:

2. Pro každou posloupnost splňující a platí

Heineho věta umožňuje tvrzení, vyslovená o limitách posloupností, převádět na limity funkcí v bodě.

Věta (Věta o jednoznačnosti limity funkce)

Funkce má v každém bodě nejvýše jednu limitu.

Věta (O lokální omezenosti funkce s vlastní limitou)

Nechť funkce má v bodě vlastní limitu. Potom existuje takové, že je na omezená.

Věta (Aritmetika limit pro funkce)

Nechť , , . Potom

1. , je-li výraz na pravé straně definován.
2. , je-li výraz na pravé straně definován.
3. , je-li výraz na pravé straně definován.

Věta (Limita a uspořádání - policajti pro funkce)

1. Nechť , .
   Potom
2. Nechť a existují , .
   Potom .
3. Nechť a .
   Potom existuje a .

Pozor na ostrost nerovností, v tomto případě je velmi důležitá.

Definice (Jednostranná spojitost funkce v bodě)

Věta (O limitě složené funkce)

Nechť , , . Nechť navíc platí jeden z předpokladů:
(P1) je spojitá v (vnější funkce je spojitá)
(P2) pro (vnitřní je lokálně prostá)
Potom .

Definice (Interval)

Nechť . Pak otevřeným intervalem nazveme , (uzavřeným) intervalem (pro ) nazveme . Uzavřený interval se někdy značí i .

Věta (Věta o limitě monotónní funkce)

Nechť je funkce monotónní na , . Potom , .

Definice (Spojitost na intervalu)

Je-li interval, pak nazýváme počátečním bodem, koncovým bodem a vnitřními body.

Řekneme, že je spojitá na intervalu , jestliže je spojitá zprava ve všech bodech kromě koncového a spojitá zleva ve všech bodech kromě počátečního.

Věta (O spojitém obrazu intervalu)

Nechť funkce je spojitá na intervalu . Potom je také interval.

Věta (Darbouxova o nabývaní mezihodnot)

Nechť funkce je spojitá na a , potom existuje takové, že .

Definice

. nabývá v bodě :

- maxima na M
- minima na M
- ostrého maxima na M
- ostrého minima na M
- lokálního maxima (minima, ostrého...) nabývá na maxima (minima, ...)

Věta (Vztah spojitosti a extrémů)

Nechť je spojitá na . Potom nabývá na svého maxima i minima.

Věta (Vztah spojitosti a omezenosti)

Spojitá funkce na uzavřeném intervalu je omezená.

Definice (prostá funkce, inverzní funkce)

Funkce je prostá, jestliže .

Nechť je prostá na , tedy . Pak inverzní funkce k funkci je definovaná na předpisem: , pak .

Věta (O inverzní funkci)

Nechť je interval a funkce je definovaná, spojitá a rostoucí (klesající) na . Potom inverzní funkce je definována, spojitá a rostoucí (klesající) na .