Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Vícerozměrný integrál a Fubiniho věta

Definice

(Kompaktním) intervalem v -rozměrném euklidovském prostoru rozumíme součin

kde jsou kompaktní intervaly v .

Definice

- Rozdělením takového intervalu rozumíme -tici , kde je rozdělení intervalu .
- Rozdělení je zjemněním jestliže zjemňuje .

Pozorování

Každé dvě rozdělení mají společné zjemnění.

Definice

Člen rozdělení je kterýkoliv interval , kde . Množina všech členů rozdělení bude označována .

Definice

Objem intervalu je číslo

Definice

Buď omezená funkce na intervalu , buď rozdělení . Dolní (resp. horní) sumou funkce v rozdělení rozumíme číslo

kde je infimum a supremum funkce na intervalu .

Pozorování

Pro libovolná dvě rozdělení a platí

Definice

Dolní a horní Riemannův integrál definujeme jako

a při rovnosti těchto hodnot mluvíme o Riemannově integrálu a píšeme prostě

Věta

Pro vícerozměrný Riemannův integrál platí (podobně jako pro jednorozměrný případ) že je Riemannovsky integrovatelná, právě když ke každému existuje rozdělení takové, že

Platí i věta, že spojitá funkce na intervalu je Riemannovsky integrovatelná.

Věta (Vlastnosti Riemannova vícerozměrného integrálu)

Platí:

1. (existují-li příslušné integrály)
2. Buďte Riemannovsky integrovatelné funkce na , buď . Potom .
3. Speciálně, je-li pro nějakou konstantu , platí

Věta (Fubiniova)

Buďte intervaly, , buď spojitá funkce definovaná na . Potom

(Inými slovami: Hodnota integrálu cez celý interval je rovná hodnote po integrovaní postupne cez (jednotlivé) rozmery - pričom je možné integrovať v ľubovoľnom poradí.)

Definice (Parciální derivace)

Parciální derivace funkce v bodě podle proměnné se definuje následovně:

Definice (Jacobiho matice, jakobián)

Jacobiho matice funkce v bodě , kde je otevřená množina v a jsou souřadnicové funkce , je dána předpisem:

Táto čtvercová matice se obvykle značí - a je-li , její determinant se nazývá Jakobián (a značí se rovnako???).

Definice (Regulární zobrazení)

Nechť je otevřená množina, má spojité parciální derivace. Zobrazení je regulární, je-li jakobián

Věta (O substituci)

Nechť je regulární zobrazení, je uzavřená množina v , na které existuje . Potom platí: