Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Určitý (Riemannův) integrál, užití určitého integrálu

Definice

Konečnou posloupnost nazýváme dělením intervalu , jestliže platí

Body nazýváme dělícími body. Normou dělení rozumíme číslo

Řekneme, že dělení intervalu je zjemněním dělení intervalu , jestliže každý dělící bod je i dělícím bodem .

Definice

Nechť je omezená funkce definovaná na intervalu a je dělení . Označme

Poznámka

Nechť je omezená funkce definovaná na intervalu .

1. Pro každé dělaní intervalu . platí .
2. Je-li zjemněním , pak a
3. Jsou-li a dělení intervalu , pak .

Definice

Nechť je omezená funkce definovaná na intervalu .

1. Označme

   (tzv. horní Riemannův integrál funkce přes ),

   (tzv. dolní Riemannův integrál funkce přes )

2. Řekneme, že funkce má Riemannův integrál přes , pokud . Hodnota tohoto integrálu je pak rovna a značíme ji .

   Pokud , definujeme , v případě, že , definujeme .

Věta (Kritérium existence Riemannova integrálu)

Nechť a je funkce omezená na . Pak existuje, právě když pro každé existuje dělení intervalu takové, že

Věta (Monotonie a linearita Riemannova integrálu)

Nechť a funkce mají Riemannův integrál přes interval . Pak platí:

1. Jestliže pro každé je , pak
3. pro každé

Věta (Spojitost a Riemannovská integrovatelnost)

Nechť a funkce je spojitá na intervalu . Pak existuje . Poznámka

Platí dokonce: Pokud je omezená na a je spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečně mnoha, pak existuje .

Věta (Monotonie a Riemannovská integrovatelnost)

Je li omezená a monotónní na uzavřeném intervalu, pak je Riemannovsky integrovatelná.

Věta (Vlastnosti )

Nechť a funkce je omezená na intervalu . Pak platí

1. Jestliže existuje , pak pro každý interval existuje .
2. Je-li , pak , má-li alespoň jedna strana smysl (aditivita Riemannova integrálu jako funkce intervalu)

Věta (Riemannův integrál jako primitivní funkce)

Nechť a funkce je omezená na intervalu . Pro položme . Potom platí:

1. Funkce je spojitá na
2. Je-li a funkce je v bodě spojitá, pak .

Stejná tvrzení platí i pro funkci

Poznámka

Pro Riemannovy integrály lze použít i metodu per partes nebo pravidlo substituce.

Věta (Základní věta analýzy)

Nechť a funkce je spojitá na intervalu . Nechť je primitivní funkce k na intervalu . Pak existují vlastní limity a a platí:

Definice (Newtonův integrál)

Nechť funkce je definována na intervalu a je primitivní funkce k na . Newtonovým integrálem funkce přes interval nazýváme číslo

pokud obě limity na pravé straně existují a jsou vlastní.

Poznámka (Vztah Riemannova a Newtonova integrálu)

Je-li funkce spojitá na intervalu , pak platí:

Množiny funkcí integrovatelných newtonovsky a riemannovsky jsou neporovnatelné.

Subsections

- Užití určitého integrálu