Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

### Vlastnosti determinantu

Věta (O determinantu transponované matice)

Pro čtvercovou matici řádu platí:

Důkaz

Plyne z faktu že :

Věta (Přerovnání matice)

Přerovnání řádků nebo sloupců podle permutace nezmění determinant vůbec, pokud a změní jen jeho znaménko, pokud .

Důkaz

A buď původní matice a B přerovnaná:

Důsledek

Má-li matice dva shodné sloupce nebo řádky, má automaticky nulový determinant (přehozením právě těch dvou řádků nebo sloupců vzniknou shodné matice se stejným determinantem, ale má se změnit znaménko).

Věta (Determinant jako lineární funkce)

Determinant matice je lineární funkcí každého jejího řádku i každého sloupce, tj. platí

Důkaz

První část plyne z distributivity sčítání vzhledem k násobení - každý člen sumy (produkt prvků) obsahuje jeden prvek typu pro nějakou permutaci a ten je možné rozepsat. Druhá část se dokáže podobně díky komutativitě násobení - prvek je také obsažen v každém členu sumy právě jednou, takže je ho možné vytknout.

Věta (Determinant součinu matic)

Nechť a jsou čtvercové matice stejného řádu nad tělesem . Potom platí:

Důkaz

Je-li jedna z matic singulární, je jejich součin singulární a tedy má nulový determinant; stejně jako je nulový součin determinantů původních matic. Jsou-li obě matice regulární, lze rozložit na nějaký součin elementárních matic. Potom

protože víme, jakým způsobem elementární úpravy (ekvivalent elementárních matic ve vzorci) mění determinant.

Důsledek

Čtvercová matice je regulární, právě když má nenulový determinant.