Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

### Kompaktní metrické prostory

Definice (Kompaktní prostor)

Řekneme, že metrický prostor je kompaktní, jestliže v něm lze z každé posloupnosti bodů vybrat konvergentní podposloupnost.

Příklady

- Každý konečný prostor je kompaktní.
- Každý omezený uzavřený interval je kompaktní.

Věta (Uzavřenost kompaktního podprostoru)

Každý kompaktní podprostor libovolného metrického prostoru je uzavřený. Je-li kompaktní, je každý jeho uzavřený podprostor taky kompaktní.

Důkaz

Obě tvrzení se dokážou z definice uzavřených množin - všechny konvergentní posloupnosti v nich mají svou limitu.

Definice (omezená podmnožina)

Podmnožina metrického prostoru je omezená, pokud existuje konečné takové, že

Věta (Omezený euklidovský podprostor)

1. Podprostor euklidovského prostoru dimenze ( ) je kompaktní, právě když je uzavřený a omezený.
2. Kompaktní podprostor ( ) má největší a nejmenší prvek.

Věta (Spojitá zobrazení a kompaktní množiny)

Buď spojité zobrazení a kompaktní metrický prostor. Potom platí:

1. Zobrazení je stejnoměrně spojité.
2. je kompaktní podmnožina .
3. Je-li navíc prosté, je stejnoměrný homeomorfismus.

Důsledek

Z bodu 2. předchozího tvrzení a 1. před-předchozího plyne, že spojitá reálná funkce nabývá na kompaktním prostoru minima i maxima.