Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Uvedení matice na diagonální tvar

Věta (O diagonalizovatelnosti a bázi)

Čtvercová reálná(komplexní) matice A řádu je diagonalizovatelná, právě když existuje báze prostoru , která je složena z vlastních vektorů matice A.

Lineární operátor V na reálném(komplexním) vektorovém prostoru V je diagonalizovatelný právě když existuje báze prostoru V složená z vlastních vektorů operátoru .

Důkaz

Je-li A diagonalizovatelná, znamená to, že existuje regulární matice R taková, že (a D je diagonální), což je to samé jako . Sloupce matice R tvoří vlastní vektory příslušné vlastním číslům matice A. R je regulární, takže vlastní vektory jsou lineárně nezávislé a tedy tvoří bázi.

Mám-li lineárně nezávislých vlastních vektorů, mohu z nich sestavit matici R a pro ní už platí, že .

Důsledek

Je-li A čtvercová matice řádu n a P regulární matice taková, že pro nějakou diagonální matici D, pak na hlavní diagonále matice D jsou všechna vlastní čísla matice A.

Věta (Vlastní čísla a diagonalizovatelnost)

Platí:

1. Jsou-li navzájem různá vlastní čísla matice A řádu a je vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu pro libovolné , pak je posloupnost vektorů lineárně nezávislá.

2. Má-li matice A řádu celkem navzájem různých vlastních čísel, pak je diagonalizovatelná.

3. Má-li lineární operátor celkem navzájem různých vlastních čísel, pak je diagonalizovatelný.

Důkaz

1. indukcí a sporem, dávají nejmenší protipříklad, pak z rovnice a , pak dostávám spor (buď byly závislé, nebo je nulové)
2. z lineárně nezávislých vlastních vektorů sestrojím matici R a platí AR=RD, kde D je diagonální matice s vlastními čísly na diagonále.

Věta (O diagonalizovatelnosti a násobnostech)

Čtvercová reálná(komplexní) matice A řádu je diagonalizovatelná, právě když pro každé vlastní číslo matice A platí, že algebraická násobnost se rovná dimenzi nulového prostoru matice , tj. číslu .

Neboli: čtvercová matice A řádu je diagonalizovatelná, právě když pro každé její vlastní číslo s násobností platí .

Důkaz

Matice je diagonalizovatelná, právě když existuje báze prostoru ( ), složená z vlastních vektorů, a tu lze rozložit na bází , které mají dimenzi .

Věta (spektrální věta pro diagonalizovatelné matice)

Čtvercová matice A řádu n se spektrem je diagonalizovatelná právě když existují matice řádu n, pro které platí:

2. pro každé
3. pro libovolné dva různé indexy

4. Dále pro diagonalizovatelnou matici A platí, že

5. matice jsou jednoznačně určené maticí A a vlastnostmi 1,2,3,4
6. hodnost každé z matic se rovná algebraické násobnosti vlastního čísla
7. je-li libovolný polynom s komplexními koeficienty, pak platí
8. nějaká matice B komutuje s maticí A (tj. ) právě tehdy, když komutuje s každou z matic pro