Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Derivace: definice a základní pravidla, věty o střední hodnotě, derivace vyšších řádů

Definice

Nechť je reálná funkce jedné proměnné, . Derivací funkce v bodě nazveme

Derivací zprava a zleva rozumíme:

Věta (Vztah derivace a spojitosti)

Má-li v vlastní derivaci, potom je v spojitá.

Věta (Aritmetika derivací)

Nechť existují , :

1. , je-li pravá strana definována
2. je-li nebo spojitá v , pak
3. je-li spojitá v , , pak

Věta (O derivaci složené funkce)

Nechť funkce má derivaci v , má derivaci v , je spojitá v a . Potom .

Věta (O derivaci inverzní funkce)

Nechť funkce je na intervalu spojitá a ryze monotonní a má v bodě derivaci vlastní a různou od nuly. Potom má funkce derivaci v bodě a platí rovnost

Poznámka

Pokud v situaci popsané v právě uvedené větě je nevlastní, je . Je-li , je (je-li rostoucí), resp. (je-li klesající).

Věta (Nutná podmínka lokálního extrému)

Nechť , . Nechť má v lokální extrém. Pak buď neexistuje , nebo .

Věta (Rolleova věta)

Nechť je spojitá na a nechť existuje . Nechť . Potom existuje .

Věta (Lagrangeova o střední hodnotě)

Nechť je spojitá na a nechť existuje . Potom existuje

Věta (Cauchyova o střední hodnotě)

Nechť a jsou spojité na , nechť existuje a nechť existuje vlastní a nenulové. Potom existuje

Důkaz

, neboť jinak by podle Rolleovy věty existovalo . Definujeme . Potom , je spojitá na . Tedy podle Rolleovy věty . Tedy , neboť a

Věta (L'Hospitalovo pravidlo)

Nechť a funkce , jsou definovány na nějakém , mají v vlastní derivaci, a existuje . Nechť platí i jedna z následujících podmínek:

Potom existuje i a platí .

Věta (O limitě derivací)

Nechť funkce je spojitá zprava v a nechť existuje . Potom .

Věta (Vztah derivace a monotonie)

Nechť je nezdegenerovaný interval (tj. nejde o jediný bod) a . Nechť je spojitá na a existuje vlastní na .:

1. je-li na , pak f je rostoucí na I
2. je-li na , pak f je neklesající na I
3. je-li na , pak f je klesající na I
4. je-li na , pak f je nerostoucí na I

Definice (Tečna, inflexe)

Nechť funkce má v vlastní derivaci. Označíme . Řekneme, že leží nad (pod) tečnou , jestliže ( ).

Nechť má v vlastní derivaci. Řekneme, že má v inflexi, jestliže : buď leží nad leží pod , nebo opačně.

Věta (Nutná podmínka existence inflexe)

Jestliže , pak nemá v inflexi.

Věta (Postačující podmínka existence inflexe)

Nechť má spojitou první derivaci na . Nechť . Nechť a (nebo naopak). Pak je bod inflexe .

Definice

Řekneme, že funkce je na intervalu :

- konvexní, jestliže pro každé a každé platí
  .
- konkávní, jestliže pro každé a každé platí
  .
- ryze konvexní, jestliže pro každé a každé platí
  .
- ryze konkávní, jestliže pro každé a každé platí
  .

Věta

Nechť funkce je konvexní na a . Potom a . Tj. konvexnost implikuje existenci vlastních jednostranných derivací, neznamená to ale, že existuje derivace.

Věta (Vztah konvexity a spojitosti)

Nechť je konvexní na otevřeném intervalu . Pak je na spojitá.

Věta

Nechť má spojitou první derivaci na . Potom:

- , pak f je ryze konvexní na
- , pak f je konvexní na
- , pak f je ryze konkávní na
- , pak f je konkávní na

Definice (Asymptota)

Funkce má asymptotu v , jestliže je definována na nějakém okolí a platí

Věta (Výpočet asymptoty)

Funkce má v asymptotu , právě když

Analogicky pro .