Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Latinské čtverce a projektivní roviny

Definice (Projektivní rovina)

Konečná projektivní rovina je množinový systém , kde je konečná množina a je systém podmnožin množiny , splňující:

Projektivní rovinu si lze představit jako množinu bodů a množinu přímek (jak se ostatně prvky těchto množin nazývají). Pak si lze podmínky představit takto:

1. Každé dvě přímky se protínají právě v jednom bodě.
2. Pro každé dva různé body a existuje přímka, která jimi prochází.
3. Existují čtyři body tak, že žádné 3 z nich neleží na jedné přímce (body v obecné poloze).

Věta

Buď projektivní rovina. Potom všechny její přímky mají stejný počet bodů, tedy

Definice

Řád projektivní roviny je číslo , kde je libovolná přímka z ().

Věta

Nechť je projektivní rovina řádu . Potom platí, že každým bodem prochází právě přímek a

Věta

Jestliže , kde je prvočíslo, pak existuje konečná projektivní rovina řádu .

Definice (Latinský čtverec)

Latinský čtverec řádu je matice a

V podstatě se jedná o čtverec krát , kde v každém řádku i sloupci jsou vepsaná všechna čísla od do .

Definice

Mějme dva latinské čtverce stejných rozměrů . Pak řekneme, že je ortogonální (značíme ), jestliže platí:

Pokud tedy ty dva latinské čtverce položíme přes sebe, vznikne nám na každé pozici dvojice čísel od do s tím, že každá dvojice je unikátní.

Věta

Nechť je množina latinských čtverců řádu , z nichž každé dva jsou navzájem ortogonální. Potom

Věta

Pro , projektivní rovina řádu existuje právě tehdy, když existuje soubor vzájemně ortogonálních latinských čtverců řádu .

Důkaz

1. Implikace : Vezmu jednu - vnější - přímku projektivní roviny. Na ní leží bodů, které nazvu . Přímky jdoucí z krajních bodů a tvoří mřížku (nazvu ji ) - protínají se v bodech.

   Potom každý z vnitřních bodů definuje lat. čtverec: každá přímka jdoucí z nějakého z vnitřních bodů se s přímkami z a z protne právě jednou a každé 2 přímky z prochází mimo vnější přímku různými body. Každá přímka proch. každým řádkem i sloupcem mřížky právě jednou dostávám latinský čtverec:

   kde značí -tý lat. čtverec, bod mřížky na souřadnicích a -tou přímku jdoucí z bodu .

   Čtverce jsou ortogonální - sporem nechť pro mají dva čtverce (-tý a -tý) na souřadnicích stejnou uspořádanou dvojici hodnot na dvou různých místech. Pak by se přímky a protínaly ve 2 bodech.

2. Implikace : Vytvořím přímku s body a mřížku o bodech. Do ní přidám přímky :

   Pak je třeba ověřit axiomy projektivní roviny.