Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Matice a jejich hodnost

Definice

Obdélníkové schéma sestavené z reálných čísel

nazýváme (reálnou) maticí typu . Prvek se nazývá -tý koeficient matice A. Množinu všech reálných matic typu značíme . Je-li , říkáme, že matice je čtvercová řádu .

Podobně definujeme množinu komplexních matic typu a značíme ji , lze takto definovat množinu matic nad libovolným tělesem.

Definice (Jednotková matice)

Čtvercová matice řádu tvaru

se nazývá jednotková matice.

Definice (Nulová matice)

Čtvercovou matici typu , pro kterou nazveme nulová matice a označíme .

Definice (Prostory související s maticí)

Buď matice typu nad tělesem . Potom jsou s ní spojené tyto vektorové prostory:

- sloupcový prostor, též sloupcový modul - podprostor generovaný sloupci
- řádkový prostor, též řádkový modul - podprostor generovaný řádky
- jádro matice ( ) - podprostor generovaný všemi řešeními soustavy

Je zřejmé, že elementární maticové úpravy nemění ani řádkový prostor, ani jádro.

Definice (Hodnost matice)

Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice (jako vektorů), značíme ji . Hodnost matice je rovna dimenzi sloupcového prostoru (to je ekvivalentní definice).

Věta (O hodnosti matice)

Pro libovolnou matici typu je dimenze jejího sloupcového prostoru rovna dimenzi řádkového prostoru. Tedy hodnost matice je rovna i dimenzi řádkového prostoru a platí

Důkaz

Pro horní trojúhelníkové matice je tato skutečnost zřejmá, dokazuje se, že Gaussova eliminace (tj. elementární maticové úpravy - násobení vhodnou regulární maticí zleva) nemění hodnost sloupcového prostoru (při operacích s řádky).

Věta (O dimenzích maticových prostorů)

Pro matici s sloupci platí:

Poznámka

Po provedení Gaussovy eliminace na matici A ( ) je hodnost matice A rovna počtu nenulových řádků matice .

Definice (Regulární matice)

Čtvercová matice se nazývá regulární, jestliže soustava

má jediné řešení (tzv. triviální).

V opačném případě se nazývá singulární (tj. platí pro nějaký vektor ).