Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

### Nevlastní limity

Definice

Řekneme, že posloupnost má nevlastní limitu , jestliže:

Obdobně řekneme, že posloupnost má nevlastní limitu , jestliže:

Má-li posloupnost nevlastní limitu, říkáme o ní, že diverguje, stejně jako v případě, že žádnou limitu nemá.

Poznámka

Všechny možné situace jsou znázorněny na následujícím diagramu:

limita posloupnosti:

- neexistuje
- existuje
  - vlastní
  - nevlastní

Definice

Množinu nazýváme rozšířenou reálnou osou.

Poznámka

Věty o jednoznačnosti limity, o limitě vybrané posloupnosti, o limitě a uspořádání a o policajtech platí v nezměněné podobě, jestliže připustíme nevlastní limity. Věta o omezenosti konvergentní posloupnosti zrejmě neplatí - neboť je-li (nebo ), pak posloupnost není omezená. Větu o aritmetice limit pro rozšírenou osu uvedeme zvlášť.

Věta (o aritmetice limit pro nevlastní limity)

Nechť a jsou dvě posloupnosti reálných čísel a nechť a . Pak platí:

3. je-li a , pak

Definice (Supremum a infimum na rozšířené reálné ose)

- Nechť množina je shora neomezená. Pak klademe
- Nechť množina je zdola neomezená. Pak klademe
- Nechť . Pak klademe a

Poznámka

Prázdná množina je jediná množina, jejíž supremum je menší než její infimum.

Věta (o limitě podílu kladné a mizející posloupnosti)

Nechť a jsou posloupnosti reálných čísel, nechť je a nechť . Nechť

Pak