Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Minory a inversní matice

Definice (Minor)

Mějme čtvercovou matici , kterou získáme z matice odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce. Determinant matice , tzn. nazýváme subdeterminantem (též minorem) příslušným k prvku matice .

Výpočet determinantu rozvojem podle řádků (sloupců)

Algebraický doplněk lze použít k výpočtu determinantu n-tého řádu. Pro libovolné (pevně dané) i lze determinant matice vyjádřit pomocí algebraických doplňků jako

Tento postup je označován jako rozvoj (rozklad) determinantu podle i-tého řádku. Ekvivalentně lze determinant vyjádřit rozvojem (rozkladem) podle j-tého sloupce. Číslo se někdy nazývá kofaktorem nebo algebraickým doplňkem.

Definice (Adjungovaná matice)

Pro čtvercovou matici definujeme adjungovanou matici předpisem

kde jsou minory matice (s vynechaným -tým řádkem a -tým sloupcem - pozor na obrácené pořadí indexů!). Prvky adjungované matice jsou vlastně algebraické doplňky v transponované matici .

Definice (Inversní matice)

Pro čtvercovou matici řádu definujeme inverzní matici předpisem

kde je jednotková matice. Inversní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici.

Věta (Výpočet inversní matice podle minorů)

Pro každou regulární matici nad tělesem platí:

Důkaz

Z maticového součinu :

1. -tý řádek -tý sloupec (obs. determinanty minorů odp. -tému řádku) dá dohromady (z rozvoje determinantu podle řádku)
2. -tý řádek -tý sloupec dá dohromady 0, protože jde o stejný princip pro matici, kde -tý řádek je nahrazen -tým (2 stejné řádky)

Potom a to už dává .