Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Definice (podalgebra)

Množina je uzavřená na operaci , když platí . Pro algebru je množina spolu s operacemi podalgebra , je-li množina uzavřená na operaci .

Definice (podgrupa)

Podalgebra grupy je podgrupa (tj. jde o podmnožinu pův. množiny prvků, uzavřenou na a , spolu s původními operacemi). Podgrupa grupy je normální, pokud pro každé (z původní množiny!) a pro každé platí, že (někdy se píše zkráceně ).

Poznámka (Vlastnosti podgrup)

Průnik podgrup je opět podgrupa. To určitě neplatí o sjednocení (to je podgrupou jen pokud je nebo ). Každá podmnožina grupy má nějakou nejmenší podgrupu, která ji obsahuje - to je podgrupa generovaná touto množinou. Podgrupa (i grupa) generovaná jedním prvkem se nazývá cyklická. Každá podgrupa cyklické grupy je také cyklická.

Podgrupy každé grupy společně s průnikem jako infimem a podgrupou generovanou sjednocením jako supremem tvoří úplný svaz (algebru se dvěma operacemi se speciálními vlastnostmi, supremem a infimem, definovanými pro všechny její podmnožiny). Úplný svaz se stejnými operacemi tvoří také normální podgrupy (jde o podsvaz prvního).

Příklady

Příklady podgrup:

- a jsou vždy normální podgrupy grupy .
- Množina je normální podgrupou (centrum grupy).
- má dvě netriviální podgrupy - a (je sama cyklická, takže obě jsou cyklické), plus samozřejmě triviální a .

Definice

Pro grupu a její podgrupu se relace definuje předpisem : . Symetricky se definuje relace ( ). Tyto relace jsou ekvivalence. Index podgrupy v grupě je (počet tříd ekvivalence podle nebo ).

Věta (Lagrangeova)

Pro grupu a její podgrupu platí: . Z toho plyne, že velikost podgrupy dělí velikost konečné grupy.

Definice (faktorgrupa)

Pro grupu a nějakou její normální podgrupu je faktorgrupa . Běžně se definuje jako množina všech levých rozkladových tříd podle nějaké normální podgrupy (kde levá rozkladová třída podle podgrupy je ). Faktorgrupa cyklické nebo abelovské grupy je také cyklická, resp. abelovská.

Příklady

Příklady faktorgrup:

- Pro grupu celých čísel a její normální podgrupu sudých celých čísel je faktorgrupou, isomorfní s grupou . Podobně to platí pro libovolné , kde je přirozené.
- je faktorgrupa grupy (rozkladové třídy jsou tvaru , kde je reálné číslo v intervalu .
- Faktorová grupa je isomorfní se .

Definice (kongruence)

Obecně v algebrách je relace slučitelná s operací arity , pokud implikuje . Kongruence je každá ekvivalence slučitelná se všemi operacemi algebry.

Poznámka

Faktorgrupa je vlastně grupa, v níž jsou jednotlivé prvky třídy ekvivalence na původní grupě podle nějaké kongruence (levé rozkladové třídy tvoří kongruence).

Definice (ideál)

Nechť je okruh a . Pak je pravý ideál, pokud (tzn. je podgrupou grupy ; je i normální, protože grupa je z definice okruhu komutativní) a pro každé a platí . Levý ideál se definuje stejně, jen poslední podmínka zní . Každý levý i pravý ideál je podle této definice uzavřený na násobení.

je ideál, pokud je pravý a zároveň levý ideál. Ideál je netriviální (vlastní), pokud a .

Příklady

Příklady ideálů:

- a jsou (nevlastní, triviální) ideály v každém okruhu
- Sudá celá čísla tvoří ideál v okruhu , podobně to platí pro , kde je přirozené.
- Množina polynomů dělitelných je ideálem v okruhu všech polynomů s 1 proměnnou a reálnými koeficienty
- Množina matic s nulovým posledním sloupcem vpravo je levý ideál v okruhu všech matic , není to ale pravý ideál (podobně s řádky a opačnými ideály)

Poznámka (Vlastnosti ideálů)

Průnik (levých, pravých) ideálů tvoří opět (levý, pravý) ideál. Ideál generovaný podmnožinou okruhu je průnik všech ideálů v , které obsahují. Všechny ideály nad nějakým okruhem s průniky a ideály generovanými sjednocením tvoří úplný svaz.

je maximální ideál, pokud je netriviální a žádný jiný netriviální ideál není jeho nevlastní nadmnožinou. Prvoideál v okruhu je takový ideál, že pro každé , pokud je , potom musí být nebo . Prvoideály mají v některých ohledech podobné vlastnosti jako prvočísla.

Je-li ideál vlastní, pak neobsahuje . Každý ideál je neprázdný, protože jako podgrupa musí obsahovat 0.