Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

### Úplné prostory

Definice (Cauchyovská posloupnost bodů)

Posloupnost bodů z metrického prostoru budiž cauchyovská, jestliže

Poznámka

Je-li posloupnost konvergentní, pak je cauchyovská. Obrácená implikace obecně neplatí.

Definice (Úplný prostor)

Prostor je úplný, pokud v něm každá cauchyovská posloupnost konverguje.

Věta (O podposloupnosti)

Pokud má cauchyovská posloupnost nějakou konvergentní podposloupnost, pak konverguje sama.

Příklady

- je úplný prostor (díky Bolzano-Cauchyho podmínce)
- Každý kompaktní prostor je úplný (podle předchozí věty)
- je úplný prostor (bez důkazu; vyžaduje součiny prostorů)

Věta (Zachování úplnosti)

Stejnoměrný homeomorfismus zachovává úplnost (protože stejnoměrně spojité zobrazení zachovává cauchyovské posloupnosti).

Poznámka

Používá se zejména při nahrazování metriky metrikou s ní stejnoměrně ekvivalentní. Tvrzení pro obyčejnou spojitost neplatí.

Věta (O úplném podprostoru)

Podprostor úplného prostoru je úplný, právě když je v uzavřená množina.