Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Vlastnosti

Věta (vlastnosti vlastních čísel)

Pro komplexní čtvercovou matici A řádu platí:

1. charakteristický polynom matice A řádu je polynom stupně s vedoucím koeficientem rovným
2. komplexní číslo je vlastním číslem matice A právě když je kořenem charakteristického polynomu matice A
3. matice A má vlastních komplexních čísel, počítáme-li každé tolikrát, kolik je jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu
4. pokud A je reálná matice, pak právě když komplexně sdružené

Důkaz

1. plyne z definice determinantu.
2. , tj. matice je singulární, takže musí mít nulový determinant.
3. plyne ze Základní věty algebry.
4. taktéž.

Věta

Determinant čtvercové matice je roven součinu jejích vlastních čísel.

Věta

Vlastními čísly horní(dolní) trojúhelníkové matice jsou právě všechny diagonální prvky.

Věta

Je-li A reálná symetrická matice, pak každé vlastní číslo matice A je reálné.

Věta

Je-li A čtvercová reálná(komplexní) matice řádu n, P reálná(komplexní) regulární matice stejného řádu a , pak obě matice A a B mají stejný charakterictický polynom a tedy i stejné spektrum.

Důkaz

.

Věta

Jsou-li A, B čtvercové matice stejného typu, potom AB a BA mají stejná vlastní čísla.