Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Matice a lineární zobrazení, resp. změny souřadných soustav

Definice

Nechť V, W jsou vektorové prostory nad stejným tělesem (R nebo C). Zobrazení nazýváme lineárním zobrazením jestliže

1. pro každé
2. pro každé a každý skalár .

Definice (Souřadnicový vektor)

Nechť je báze V. Každý vektor lze potom vyjádřit právě jedním způsobem jako lineární kombinaci vektorů báze . Potom aritmetický vektor

nazýváme souřadnicovým vektorem vektoru x v bázi (a a souřadnicový vektor závisí na výběru báze).

Definice (Matice lineárního zobrazení)

Nechť je báze vektorového prostoru , je báze vekt. prostrou a nechť je lineární zobrazení. Potom pro každé lze zapsat právě jedním způsobem ve tvaru

Matice se nazývá maticí lineárního zobrazení vzhledem k bázím a značí se

Pozorování

je matice sestavená ze sloupců

které jsou souřadnicovými vektory vektorů v bázi .

Věta

Nechť je báze V, je báze W, a nechť je lineární zobrazení. Potom pro každé platí

kde napravo stojí maticový součin.

Věta (Složené zobrazení a maticový součin)

Nechť , jsou lineární zobrazení a nechť jsou báze U, V, W. Potom platí

kde napravo stojí maticový součin.

Věta (Matice inversního zobrazení)

Je-li isomorfismus, potom inversní zobrazení je rovněž isomorfismus a vzhledem k libovolným bázím prostorů V, W platí:

Věta (Změna souřadnic vektoru při změně báze)

Nechť jsou dány dvě báze vektorového prostoru . Potom pro každé platí:

Matice se nazývá maticí přechodu od báze k bázi .

Poznámka

Předchozí vzorec vyžaduje znalost hodnot vektorů staré báze v nové bází . Typická situace ale je, že máme jen starou bázi a pomocí ní vyjádříme novou bázi . V tom případě můžeme použít vzorec