Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

### Newtonova metoda hledání nulového bodu

Zdroje:
`http://www.kvd.zcu.cz/cz/materialy/numet/_numet.html#_Toc501178905`,
`http://www.mojeskola.cz/Vyuka/Php/Learning/Derivace/matika_krokem5.php` :-)

Newtonova metoda je numerická...

Jde o nalezení nulového bodu nějaké funkce, tedy bodu, kde pro nějakou reálnou funkci na intervalu .

Jako první aproximaci () kořene rovnice v intervalu použijeme střed tohoto intervalu. V něm sestrojíme tečnu a její průsečík s osou je novou aproximací () kořene. V tomto bodě sestrojíme opět tečnu atd.

Další, přesnější, novou aproximaci kořene tedy hledáme jako průsečík tečny ve staré aproximaci s osou .

Máme-li řešit rovnici , pak rovnice tečny ve starém průsečíku () bude Průsečík s osou získáme vyjádřením z rovnice: Tedy: Tento průsečík bude novou aproximací () kořene.

Výsledný vztah pro výpočet nové aproximace tedy zní:

Lze očekávat při každé iteraci dojde ke zdvojnásobení počtu platných číslic. Pro odhad chyby lze použít vzorec , kde je minimum hodnoty první derivace v intervalu od počáteční aproximace ke kořeni. Nevýhodou této metody je ovšem to, že nemusí konvergovat vždy. Také kriterium použitelnosti může značně omezit oblast jejího používání:

- funkce musí být v okolí kořene spojitá
- funkce nesmí mít v okolí kořene nulovou derivaci a musí být splněna podmínka

Řešení je pro konvexní i konkávní funkce stejné, pouze je zapotřebí jinak volit výchozí bod. U konvexních funkcí je zapotřebí zvolit výchozí bod nad očekávaným kořen a přibližovat se k němu shora. U konkávních funkcí je třeba zvolit výchozí pod kořenem a ke kořenu se přibližovat zdola. Princip Newtonovy metody pro konvexní funkce je znázorněn na následujícím obrázku: