Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Násobnost kořenů a jejich souvislost s derivacemi mnohočlenu

Věta (o počtu kořenů)

Každý nenulový polynom , kde je okruh polynomů nad oborem integrity , má nejvýše kořenů (plyne z vlastností ).

Definice (vícenásobný kořen)

Pro komutativní okruh a polynom je vícenásobný kořen, pokud polynom dělí .

Definice (Derivace polynomu)

Pro polynom z okruhu polynomů nad komutativním okruhem definujeme derivaci (, ) předpisem

Poznámka (Vlastnosti derivace)

Pro okruh , prvek a polynomy platí:

Věta (derivace a vícenásobný kořen)

Nad oborem integrity buď polynom. Je-li jeho kořen, pak je vícenásobný kořen, právě když je kořenem .

Definice (Charakteristika oboru integrity)

Pro obor integrity definujeme charakteristiku oboru integrity jako

- 0 (nebo někdy ), pokud cyklická podgrupa grupy generovaná prvkem je nekonečná.
- , pokud cyklická pogrupa grupy generovaná jedničkou má konečný řád .

Věta (derivace snižuje stupeň polynomu)

Nad oborem integrity charakteristiky 0 buď polynom () stupně . Potom je polynom stupně .

Věta (derivace a násobný kořen)

Nad tělesem charakteristiky 0 buď polynom () stupně alespoň 1. Potom prvek , kde je nějaké nadtěleso , je -násobným kořenem , právě když platí obě následující podmínky:

- , ,

Věta (derivace a největší společný dělitel)

Mějme těleso charakteristiky 0 a nad ním něm polynom stupně alespoň . Potom platí:

- Pokud , pak nemá žádný vícenásobný kořen.
- Každý -násobný kořen je -násobným kořenem -té derivace .
- Polynom takový, že má stejné kořeny jako , ale jednoduché.

Věta

Nechť je obor integrity a jeho charakteristika nedělí přir. číslo . Potom polynomy a v nemají vícenásobný kořen.