Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

### Trigonometriké Fourierovy řady

Definice (po částech spojitá periodická funkce)

Buď funkce periodická s periodou . Řekneme, že je po částech spojitá, je-li po částech spojitá na intervalu .

Poznámka

Nechť je -periodická funkce a .

1. Pak je počástech spojitá na , právě když je po částech spojitá na .
2. , pokud alespoň jeden z těchto integrálů existuje.

Definice

Nechť funkce je -periodická po částech spojitá funkce. Jejími trigonometrickými Fourierovými koeficienty rozumíme čísla

Definice

Trigonometrickou Fourierovou řadou funkce pak rozumíme řadu

Poznámka (Besselova nerovnost)

Besselova nerovnost pro trigonometrické Fourierovy řady má tvar

Podobná nerovnost platí i pro obecné Fourierovy řady.

(Riemann-Lebesgue) důsledkem této nerovnosti je fakt, že .

Věta (Persevalova rovnost)

Pro trigonometrické Fourierovy řady platí v Besselově nerovnosti rovnost. Pro funkce s periodou potom platí:

Poznámka

Nechť je -periodická po částech spojitá funkce taková, že všechny její trigonometrické Fourierovy koeficienty jsou nulové. Pak pro všechna s výjimkou konečně mnoha bodů.

Věta (Symetrie funkce a Trigonometrické Fourierovy koeficienty)

Nechť je -periodická po částech spojitá funkce, a , její trigonometrické Fourierovy koeficienty. Pak platí

1. Pro všechna je , právě když pro všechna s výjimkou konečně mnoha bodů.
2. Pro všechna je , právě když pro všechna s výjimkou konečně mnoha bodů.

Definice

Nechť je -periodická po částech spojitá funkce. Řekneme, že je po částech hladká, jestliže je po částech spojitá.

Věta (O konvergenci Fourierových řad)

Nechť je po částech hladká p-periodická funkce. Pak platí:

1. Trigonometrická Fourierova řada funkce konverguje bodově na a její součet v bodě je
2. Je-li navíc spojitá na intervalu , pak její trigonometrická Fourierova řada konverguje lokálně stejnoměrně na a její součet je pro každé .
3. Je-li navíc spojitá na , pak její trigonometrická Fourierova řada konverguje stejnoměrně na a její součet je pro každé .