Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Řešení soustavy rovnic je lineární množina

Definice (Maticový zápis soustavy rovnic)

Uvažujme soustavu lineárních rovnic o neznámých ve tvaru:

Takovou soustavu lze zapsat jako

kde

- je matice soustavy typu (s řádky a sloupci), kde na souřadnicích je koeficient ,
- je sloupcový vektor pravých stran (matice typu ) a
- je sloupcový vektor neznámých (matice typu )

Maticový součin zřejmě dává stejný výsledek jako explicitní zápis soustavy.

Věta (Řešení soustavy rovnic je afinní podprostor)

Pro soustavu lineárních rovnic , kde je matice typu , je vektor pravých stran a vektor neznámých, platí, že množina jejích řešení je

1. prázdná
2. tvaru , kde je jedno z řešení soustavy a je množina všech řešení homogenní soustavy .

Důkaz

Je-li množina řešení rovnic neprázdná, potom platí:

1. řádky matice generují nějaký podprostor , .
2. jestliže pro nějaké platí (tedy ) a mám nějaké , pro které platí , potom z distributivity násobení matic plyne .

Věta (Afinní podprostor lze popsat soustavou rovnic)

Opačné tvrzení platí také - každý afinní podprostor lze popsat soustavou lineárních rovnic.

Důkaz

Ve vekt. prostoru mějme afinní podprostor , kde je podprostor a . buď báze . Potom každé vyhovuje soustavě rovnic

Důsledek

Je-li dána soustava rovnic , kde matice má řádků, potom jí určený afinní podprostor má dimenzi .

Věta ((neprázdný) průnik afinních podprostorů je afinní podprostor)

Mějme dány afinní podprostory a pro nějaké podprostory vektorového prostoru . Pokud , potom je afinní podprostor .

Důkaz

Plyne z předchozích vět o vztahu afinních podprostorů a soustav rovnic - vezmeme rovnicové popisy a a složíme je pod sebe, tím dostaneme rovnicový popis dalšího afinního podprostoru (pokud daná soustava rovnic má řešení, tedy průnik je neprázdný).

Příklad

Např. průnik přímky a roviny v - jeden bod - je afinní podprostor :-).