Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

### Spojitá a stejnoměrně spojitá zobrazení

Definice (Spojité zobrazení)

Pro metrické prostory a je zobrazení spojité v bodě , jestliže

Zobrazení je spojité, pokud je spojité v každém bodě .

Věta (Vlastnosti spojitosti)

Nechť je dáno zobrazení mezi dvěma metrickými prostory , . Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:

1. je spojité
2. pro každou konvergentní posloupnost v platí
3. pro každé a každé okolí bodu existuje okolí bodu takové, že
4. obrazy otevřených množin z zobrazením jsou v otevřené
5. obrazy uzavřených množin z zobrazením jsou v uzavřené
6. pro každou platí

Definice (Stejnoměrně spojité zobrazení)

Řekneme, že zobrazení je stejnoměrně spojité, jestliže

takové, že platí

Věta (Skládání zobrazení)

Složení dvou spojitých (nebo stejnoměrně spojitých) zobrazení je spojité (resp. stejnoměrně spojité).

Definice (homeomorfismus)

Existuje-li ke (stejnoměrně) spojitému zobrazení inverzní (stejnoměrně) spojité zobrazení , řekneme, že je (stejnoměrný) homeomorfismus a prostory a jsou (stejnoměrně) homeomorfní. Pokud je takové identické zobrazení z do , říkáme, že metriky a jsou (stejnoměrně) ekvivalentní (jiná definice ekvivalentních metrik je, že dvě metriky jsou ekvivalentní, jestliže mají metrické prostory a tytéž otevřené množiny).

Věta (aritmetika zobrazení)

Jsou-li spojité funkce (kde je metrický prostor) a , potom i funkce , , a (má-li tato smysl) jsou spojité. Platí i pro spojitost zobrazení v nějakém bodě .

Důkaz

Důkaz této věty je vlastně stejný jako důkaz věty o aritmetice limit pro reálné funkce (jen pracujeme se zobrazeními na metrických prostorech).

Definice (Stejnoměrná konvergence posloupnosti zobrazení)

Řekneme, že posloupnost zobrazení z do konverguje stejnoměrně k zobrazení ( ), jestliže

Věta (spojitost limitního zobrazení)

Jsou-li spojité a , pak je i spojité.