Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Mocninné řady

Definice

Nechť a je posloupnost reálných čísel. Nekonečnou řadu funkcí tvaru nazýváme mocninnou řadou o středu .

Definice

Nechť je mocninná řada o středu . Jejím poloměrem konvergence rozumíme číslo

je-li uvedená množina shora omezená. Není-li shora omezená, klademe .

Věta

Nechť je mocninná řada o středu a její poloměr konvergence.

1. Je-li , pak řada konverguje absolutně;
   Je-li , pak řada diverguje.
2. Je-li , pak řada konverguje stejnoměrně na množině .
3. Řada konverguje lokálně stejnoměrně na množině .

Body 2. a 3. jsou vlastně ekvivalentní. Je-li , pak řada konverguje lokálně stejnoměrně na celém .

Poznámka

Množině , kde je poloměr konvergence mocninné řady , se říká kruh konvergence.

Věta (Výpočet poloměru konvergence)

Nechť je mocninná řada o středu a její poloměr konvergence.

1. Jestliže , pak

2. Týž vzoreček platí, je-li

První bod plyne z Cauchyova odmocninového kritéria konvergence řady, druhý z D'Alembertova podílového kritéria. Stejné tvrzení platí i pro limity daných výrazů v případě, že existují.

Věta (...jen pomocná pro následující)

Nechť je mocninná řada o středu a její poloměr konvergence. Pak i mocninné řady a mají poloměr konvergence R.

Věta (Derivace a integrace mocninné řady)

Nechť je mocninná řada o středu a její poloměr konvergence. Definujme funkci . Pak platí:

1. Funkce je spojitá na .
2. Funkce má v každém bodě vlastní derivaci a platí .
3. Funkce je primitivní funkcí k na .