Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

### Rozklady polynomů

Poznámka (Ireducibilní polynomy)

Polynom je ireducibilní, pokud není součinem dvou polynomů nižších stupňů a jeho stupeň je větší nebo roven jedné. Všechny polynomy stupně 1 jsou ireducibilní. Jedinými děliteli ireducibilního polynomu jsou asociované polynomy a nenulové skaláry (tj. polynomy stupně 0).

Věta (Rozklad polynomu)

Každý polynom stupně alespoň 1 má až na asociovanost jednoznačný rozklad na součin ireducibilních polynomů.
Důkaz existence: indukcí podle - najdeme vždy dělitel nejmenšího možného kladného stupně, vydělíme a pokračujeme, dokud nedostaneme polynom, který nemá dělitel kladného stupně menšího než je jeho vlastní.

Definice (Dosazování do polynomů)

Nechť je okruh, jeho podokruh ( ) a nechť . Potom zobrazení , dané předpisem je okruhový homomorfismus. Nazývá se dosazovací homomorfismus.

Poznámka (Dosazovaní a )

Pro obor integrity nad oborem integrity je polynom invertibilní, právě když a je invertibilní na .

Definice (Kořen polynomu)

Pro okruh a jeho podokruh je kořen polynomu takové , že (při dosazení se polynom zobrazí na 0).

Definice (Kořenový činitel, rozklad)

Je-li rozklad polynomu na ireducibilní polynomy, potom kořenovým činitelem polynomu nazveme takové , které je ve tvaru (tedy stupně 1 s koeficienty a ). Řekneme, že polynom se rozkládá na kořenové činitele v , jestliže existuje takový jeho rozklad na ireducibilní polynomy, že všechny jsou kořenové činitele. Potom nazveme násobnostmi kořenů.

Věta (kořen a kořenový činitel)

Na oboru integrity nad oborem integrity je kořenem polynomu , právě když .