Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

### Otevřené a uzavřené množiny

Definícia (otvorená a uzavretá guľa)

Nech je metrický priestor, , potom

- otvorenou guľou (-okolím) so stredom a polomerom nazveme množinu

- uzavretou guľou (-okolím) so stredom a polomerom nazveme množinu

Definícia (otvorená a uzavretá množina)

Nech je metrický priestor, , potom

- je otvorená v , ak

  (tj. množina je okolím každého svojho bodu)
- je uzavretá v , ak jej doplnok je otvorený v .

Otvorená guľa je otvorená množina v každom metrickom priestore. Podobné tvrdenie platí aj pre uzavretú guľu.

Veta (vlastnosti otvorených množín)

Nech je metrický priestor, potom platí

1. , sú otvorené v
2. konečný prienik otvorených množín je otvorená množina v
3. ľubovoľne veľké zjednotenie otvorených množín je otvorená množina v

Veta (vlastnosti uzavretých množín)

Nech je metrický priestor, potom platí

1. , sú uzavreté v
2. ľubovoľný prienik uzavretých množín je uzavretá množina v
3. konečné zjednotenie uzavretých množín je uzavretá množina v

Definícia (uzáver)

Uzáverom množiny v metrickom priestore nazývame množinu

uzavretá

Definícia (vnútro)

Vnútrom množiny v metrickom priestore nazývame množinu

otvorená

Definice (Vzdálenost bodu od množiny)

V metrickém prostoru buď množina a bod. Vzdálenost bodu od množiny je číslo .

Veta (vlastnosti uzáveru)

Nech je metrický priestor a množiny v nem, potom platí:

1. ,
5. charakteristika uzáveru:
6. je najmenšia uzavretá množina obsahujúci , preto je uzavretá práve keď .