Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

### Vlastní limity

Definice

Nechť je posloupnost reálných čísel a . Řekneme, že A je vlastní limitou posloupnosti , jestliže

značíme

Dá se jednoduše ukázat, že toto je splněno i pokud máme vždy od dále zaručeno jen to, že pro nějaké .

Definice

Jestliže existuje tak, že , pak říkáme, že posloupnost má vlastní limitu nebo že konverguje (je konvergentní). V opačném případě říkáme, že posloupnost diverguje.

Pozorování

Ne každá posloupnost je konvergentní. Například posloupnost 0,1,0,1,0,... nemá vlastní limitu a podobně posloupnost nemá vlastní limitu.

Příklady

Věta (o jednoznačnosti limity posloupnosti)

Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Věta (o omezenosti konvergentní posloupnosti)

Každá konvergentní posloupnost je omezená.

Definice

Nechť je posloupnost reálných čísel. Řekneme, že posloupnost je vybraná z posloupnosti, neboli že posloupnost je podposloupností posloupnosti , jestliže existuje rostoucí posloupnost přirozených čísel taková, že pro všechna .

Věta (o limitě vybrané posloupnosti)

Nechť je posloupnost reálných čísel a nechť . Nechť posloupnost je vybraná z posloupnosti . Pak .

Věta (o aritmetice limit)

Nechť a jsou dvě posloupnosti reálných čísel a nechť a . Pak platí:

3. je-li a , pak

Věta (o limitě a uspořádání)

Nechť a jsou dvě posloupnosti reálných čísel a nechť a . Pak platí:

1. Jestliže , potom
2. Jestliže , pak

Pozor, ostrost nerovností v tomto případě je důležitá.

Věta (o policajtech)

Nechť , a jsou posloupnosti reálných čísel, splňující

Pak

Věta (o limitě součinu mizející () a omezené posloupnosti)

Nechť a jsou posloupnosti reálných čísel, nechť je a omezená. Pak