Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Cauchyovské posloupnosti

Tato sekce je vypracovaná podle skript Prof. A. Pultra z matematické analýzy
(`http://kam.mff.cuni.cz/~pultr/`)

Definice (Bolzano-Cauchyova podmínka)

Řekneme, že posloupnost je cauchyovská, nebo-li že splňuje Bolzano-Cauchyho podmínku, pokud pro ní platí:

Věta (Bolzano-Weierstrassova)

Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Jsou-li v kompaktním intervalu , je limita vybrané posloupnosti v tomto intervalu.

Důkaz

První část dokážeme nalezením takové posloupnosti. Vezmeme a definujeme pro každé množinu a . Potom je vybraná posloupnost, která konverguje. Druhá část je přímým důsledkem věty o limitě a uspořádání.

Lemma

Má-li cauchyovská posloupnost konvergentní podposloupnost, je konvergentní.

Důkaz

Nechť . Pro zvolme , aby pro platilo a . Protože , platí .

Věta (Bolzano-Cauchyova)

Posloupnost má vlastní limitu, právě když je cauchyovská.

Důkaz

1. Implikace je hned vidět - stačí vzít k takové , že . Potom je .

2. Pro druhou implikaci stačí dokázat, že je cauchyovská posloupnost omezená a zbytek dostaneme z předchozího lemmatu a Bolzano-Weierstrassovy věty. Pro existuje takové, že pro každé (to plyne přímo z podmínky), takže zbývá jen konečný počet členů mimo toto rozmezí (pro ), a ty vždy tvoří omezený systém.