Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Inversní matice

Věta

Ke každé regulární matici existuje právě jedna matice s vlastností

Naopak, existuje-li k matice s touto vlastností, potom je A regulární.

Definice

Matici s touto vlastností nazýváme inversní maticí k matici A.

Poznámka

Inverzní matici mají tedy právě regulární matice.

Důsledek

Je-li A regulární, je i regulární.

Věta (Inversní matice je oboustranně inversní)

Jestliže pro platí , potom A je regulární a . Analogicky, jestliže , potom A je regulární a .

Věta

Je-li regulární, potom pro každé je jediné řešení soustavy dáno vzorcem .

Věta (Výpočet inversní matice)

Pro čtvercovou matici řádu nechť je matice (tj. zřetězení sloupců matice a jednotkové matice řádu ) převedena Gauss-Jordanovou eliminací na tvar . Potom platí:

Jestliže Gauss-Jordanova eliminace není proveditelná až do konce, potom je singulární a nemá inversní matici.

Důkaz

Víme, že Gauss-Jordanova eliminace je vlastně opakované násobení regulárními maticemi zleva. Součin všech těchto matic označme . Označme -tý sloupec nějaké (obecné) matice. Potom pro platí: , tedy , dále platí , takže a tedy .

Věta (Vlastnosti inversní matice)

Nechť jsou regulární matice. Potom platí: