Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Věta o implicitních funkcích

Věta (O implicitní funkci (pro obecné křivky v ))

Nechť má spojité parciální derivace. Mějme dva body takové, že . Nechť navíc . Potom exisuje okolí bodu a okolí bodu tak, že pro existuje právě jedno takové, že . Označíme-li takto definovanou (implicitní) funkci jako , potom je diferencovatelná na a platí:

Věta (Věta o implicitní funkci (případ v ))

Nechť , kde je otevřená množina. Uvažujme body , takové, že a . Nechť má spojité parciální derivace a nechť navíc . Potom existuje okolí bodu a okolí bodu takové, že pro existuje právě jedno takové, že . Navíc, označíme-li , potom má spojité parciální derivace na a platí:

Poznámka

Na tomto místě uvedeme malou, ale pro nás důležitou poznámku z algebry. Mějme bod a funkce , , které mají všechny své parciální derivace. Potom determinant

| (2)

nazveme Jakobiánem funkcí (v bodě ) vzhledem k proměnným . Pojem Jakobián lze ekvivalentně zavést i pomocí vektorových funkcí. To zde však nebudeme potřebovat.

Věta (O implicitních funkcích (případ v ))

Nechť , kde je otevřená množina. Uvažujme body , takové, že a pro všechny . Nechť každá funkce má spojité parciální derivace a nechť navíc . Potom existuje okolí bodu a okolí bodu takové, že pro existuje právě jedno takové, že . Navíc, označíme-li , potom má spojité parciální derivace na a platí:

Věta (O inverzních funkcích)

Důsledkem věty o implicitních funkcích je následující věta: Nechť , kde je okolí bodu , je zobrazení se spojitými parciálními derivacemi, které má v nenulový jakobián. Potom existují okolí a bodů a taková, že je bijekce, inverzní zobrazení má spojité parciální derivace a pro každé v bodě máme

Jacobiho matice zobrazení v bodě je tedy inverzní k Jacobiho matici zobrazení v bodě .