Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Grupa, okruh, těleso - definice a příklady

Definice (algebra)

Pro množinu je zobrazení , kde n-ární operace ( je arita). Jsou-li operace arity na množině , pak je algebra.

Definice (grupoid)

Algebra s 1 binární operací je grupoid. V něm je neutrální prvek. Algebra s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem vzhledem k ní je monoid. Nechť je dán monoid s neutrálním prvkem a nějakým prvek . Potom řekneme, že prvek je inverzní k prvku , pokud . Prvek je invertibilní, pokud má nějaký inverzní prvek.

Poznámka

Každý grupoid obsahuje nejvýš 1 neutrální prvek. V libovolném monoidu platí, že pokud , pak (tj. inverzní prvek zleva a zprava musí být ten samý). Každý inverzní prvek je sám invertibilní.

Definice (grupa)

Algebra je grupa, pokud je monoid a je operace inv. prvku (tedy unární operace, která každému prvku přiřadí prvek k němu inverzní). Grupa je komutativní (abelovská), pokud je operace komutativní.

Příklady

Příklady grup:

- Množina s operací sčítání, inverzním prvkem a neutrálním prvkem 0
- Množina (kladných reálných čísel, tedy bez nuly, protože k té bychom inverzní prvek nenašli) s operací násobení, inverzním prvkem a neutrálním prvkem
- Množina pro libovolné přirozené číslo; s operací sčítání modulo , inverzním prvkem modulo a neutrálním prvkem 0
- Množina polynomů stupně se sčítáním, opačným polynomem (s opačnými koeficienty) a neutrálním prvkem 0
- Množina všech permutací prvků s operací skládání permutací, opačnou permutací (takovou, že její složení s původní dává identitu) a neutrálním prvkem (na rozdíl od všech předchozích pro permutace délky větší než 3 není abelovská)
- Množina regulárních matic s operací maticového násobení, inverzními maticemi a jednotkovou maticí (taktéž není obecně abelovská)

Definice (okruh)

Nechť je algebra taková, že tvoří komutativní grupu, je monoid a platí a (tedy distributivita sčítání vzhledem k násobení). Pak je okruh.

Příklady

Příklady okruhů:

- Množina s operacemi sčítání a násobení, inverzem vůči sčítání - unárním minus a neutrálními prvky 0 a .
- Množina všech lineárních zobrazení na s operacemi sčítání a skládání, opačným zobrazením (kde ), nulovým zobrazením a identitou (pro obecná zobrazení toto nefunguje, neplatí distributivita)

Poznámka (Vlastnosti okruhů)

V okruhu pro každé 2 prvky platí:

Definice (těleso)

Těleso je okruh , pro který navíc platí, že pro každé kromě nuly existuje takové, že , tj. pro všechny prvky kromě nuly existuje inverzní prvek vůči operaci - . Navíc v musí platit, že (vyloučení triviálních okruhů).

Komutativní těleso je takové těleso, ve kterém je operace komutativní.

Příklady

Příklady těles:

- Tělesa a
- Racionální čísla
- , kde je prvočíslo a přirozené číslo - tzv. Gallois field, pro dané a existuje vždy až na isomorfismus (přejmenování prvků) jen jedno.

Všechna uvedená tělesa jsou komutativní. Obecně všechna konečná tělesa jsou komutativní (Wedderburnova věta).