Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Jordanův tvar v obecném případě

Definice (Jordanův tvar)

Diagonalizovatelné matice mají dobře pochopitelnou strukturu popsanou ve spektrální větě. Matice, které nelze diagonalizovat, nemají bázi složenou z vlastních vektorů, musí mít nějaké vícenásobné vlastní číslo , pro které je dimenze nulového prostoru menší než algebraická násobnost čísla . (viz věta o diagonalizovatelnosti a násobnostech)

Příklad takové matice řádu , pro

Všechny prvky na diagonále se rovnají stejnému číslu , všechny prvky bezprostředně nad hlavní diagonálou se rovnají 1, ostatní prvky jsou nulové.

Pozorování

Charakteristický polynom matice J se rovná:

Pozorování

Matice je v řádkově odsťupňovaném tvaru, její hodnost se rovná a její nulový prostor má proto dimenzi rovnou 1, což se nerovná algebraické násobnosti vlastního čísla , matice J tedy není diagonalizovatelná.

Definice (Jordanova buňka)

Matice J se nazývá Jordanova buňka řádu příslušná vlastnímu číslu .

Věta (O Jordanově kanonickém tvaru)

Pro každou čtvercovou matici A existuje regulární matice P taková, že

kde každá z matic pro je Jordanova buňka nějakého řádu příslušná vlastnímu číslu . Čísla jsou všechna, nikoliv nutně různá, vlastní čísla matice A a platí dále . Dvojice pro jsou maticí A určené jednoznačně až na pořadí (tj. reprezentují třídu podobných matic).

Definice (Hermitovskost)

Nechť A je komplexní matice, potom matici , pro kterou platí, že nazýváme hermitovskou transpozicí matice A (někdy se používá název konjugovaná matice).

Komplexní čtvercová matice A se nazývá unitární, pokud platí, že . Komplexní čtvercová matice A se nazývá hermitovská, pokud .

Pozorování

Platí: (důkaz je stejný jako pro obyčejnou transpozici).

Věta (O hermitovských maticích)

Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná ( i když je sama komplexní). Navíc existuje unitární matice taková, že je diagonální. (tzn. hermitovská matice je diagonalizovatelná).

Důsledek

Interpretace v : Pro každou symetrickou matici platí, že všechna její vl. čísla jsou reálná a navíc existuje ortogonální matice : je diagonální. Příslušný vl. vektor lze vzít reálný, protože - soustava lin. rovnic s reálnou singulární maticí - musí mít netriviální reálné řešení.