Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Veta o výmene

Lemma (o výmene)

Nech je systém generátorov priestoru a pre platí , potom platí

(Inak povedané, vektor bázy ktorý sa ``podielal'' na vytvorení vektoru , možme s zameniť.)

Dôkaz

Pre ľubovolné , môžme písať . Do tohoto vyjadrenia miesto dosadíme vyjadrenie z rovnice , čím dostaneme vyjadrenie ľubovolného pomocou , z čoho výplýva, že tieto vektory sú tiež systém generátorov.

Veta (Steinitzova o výmene)

Nech je vektorový priestor, je lineárne nezávislá a je konečný systém generátorov. Potom existuje také, že

(V krátkosti povedané - každý nezávislý systém vektorov je možné, pridaním vektorov zo systému generátorov , rozšíriť na systém generátorov .)

Dôkaz

Ak sme hotoví a . Inak vezmeme a postupne do neho začneme pridávať prvky z . Pri každom pridaní, podľa lemmy o výmene, jeden prvok z tejto množiny odstránime. Po poslednej iterácii získame hľadané .

(Pri každej iterácií vyhadzujeme jeden prvok, ktorý nepatrí do , pretože je lineárne nezávislá.)

Dôsledok

Ak má konečnú bázu, majú všetky bázy rovnakú veľkosť.

Dôsledok

Ak má konečnú bázu, potom môžme každú lineárne nezávislú množinu doplniť na bázu.

Definícia

Veľkosť bázy konečne generovaného priestoru sa nazýva dimenzia priestoru . Značíme .

Věta

Buďte konečně generované podprostory vektorového prostoru Potom