Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Lineárne zobrazenie

Definice (lineární zobrazení)

Mějme vektorové prostory . Řekneme, že zobrazení je lineární, jestliže pro libovolná a platí

Definice (lineární operátor)

Lineární zobrazení se nazývá lineární operátor.

Příklady

1. Identické zobrazení na (to je příklad lineárního operátoru).
2. Buď pevné reálné číslo. Zobrazení dané předpisem
3. Derivace je lineární zobrazení z množiny reálných spojitých funkcí do množiny reálných funkcí
4. V jsou lineární zobrazení např. zrcadlení nebo zkosení .

Definice (Hodnost lineárního zobrazení)

Pro lineární zobrazení mezi dvěma vekt. prostory definujeme jádro zobrazení ( ) jako množinu . Obraz zobrazení ( ) je množina . Jako hodnost zobrazení označíme číslo .

Věta (Základní vlastnosti lineárního zobrazení)

Nechť je lineární zobrazení. Potom platí:

2. je podprostor prostoru W
3. je podprostor prostoru V
4. je prosté, právě když
5. je-li a je-li zobrazení prosté, potom je bijekce a inversní zobrazení je opět lineární.

Věta (O dimenzi obrazu a jádra)

Pro mezi dvěma vektorovými prostory konečné dimenze platí:

Věta (Báze určuje lineární zobrazení)

Mějme dány vektorové prostory a bázi prostoru . Potom pro každé lineární zobrazení existuje právě jedno lineární zobrazení takové, že .

Jiná formulace: Pro libovolné vektory existuje právě jedno lineární zobrazení takové, že .

Definice (Isomorfismus)

Lineární zobrazení se nazývá isomorfismus, existuje-li k němu inversní lineární zobrazení. Pokud existuje isomorfismus , říkáme, že prostory a jsou isomorfní.

Věta

Je-li lineární zobrazení bijektivní, je to isomorfismus.

Věta (Isomorfismus vekt. prostorů nad )

Každý -dimensionální vektorový prostor nad tělesem je isomorfní vekt. prostoru (tj. jehož prvky jsou uspořádané -tice prvků z ).

Věta (Další vlastnosti lin. zobrazení)

1. Je-li lineární zobrazení prosté, zachovává lineární nezávislost.
2. Je-li na (surjekce), zachovává vlastnost být systémem generátorů.

Věta (Skládání lineárních zobrazeni)

Nechť , jsou lineární zobrazení. Potom složené zobrazení definované předpisem

je rovněž lineárním zobrazením.

Věta (Sčítání a násobky lin. zobrazení)

Nechť jsou lineární zobrazení z vekt. prostoru do , skalár. Potom zobrazení a definovaná předpisem

jsou lineární zobrazení do .

Věta (Množina lineárních zobrazení je vekt. prostor)

Množina lineárních zobrazení prostoru do prostoru s operacemi sčítání a násobení skalárem, definovanými v předchozí větě, tvoří vektorový prostor, který značíme .

Věta

Nechť a . Potom prostor je isomorfní prostoru . V důsledku toho je