Procházet otázky :: SZZ na MFF UK

#

- Hlavní strana
- Okruhy
- Projít
- Stáhnout
- Co je potřeba
- Chci přispět
- Kredity

Hledat:

## Prohlížení státnicových textů

## Taylorovy řady

Definice

Nechť funkce má v bodě derivace všech řádů. Pak řadu nazýváme Taylorovou řadou funkce o středu v bodě .

Poznámka

Nechť funkce má v bodě derivace všech řádů a . Pak funkce je v bodě součtem své Taylorovy řady o středu , právě když .

Věta

Nechť a funkce má v každém bodě intervalu derivace všech řádů. Jestliže platí podmínka

- existuje takové, že pro každé a každé je ,

pak funkce je v bodě x součtem své Taylorovy řady o středu . Analogicky pro případ .

Věta

Nechť je mocninná řada o středu a její poloměr konvergence. Definujme funkci . Pak řada

je Taylorovou řadou funkce o středu , tj. pro každé platí .

Význam Taylorových řad:

- aproximace funkcí - příklady (Taylorovy řady elementárních funkcí):

- zjednodušení důkazů - příklad (Důkaz binomické věty):

  Rozvineme funkci v okolí nuly. Indukcí lze ověřit, že . Taylorova řada funkce konverguje na a je rovna hodnotě :

  a to dává binomickou větu.