| e-learning.tul.cz
|  | Guest10 On-line

Navigazione
Menu principale Contenuto

Úlohy na soustavy ODR Příklad. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu Zjistěte dále, zda je každé řešení soustavy stabilní, resp. asymptoticky stabilní. ŘEŠENÍ: Označme matici soustavy. Protože , jsou vlastní čísla a . Nalezením všech nenulových řešení soustavy , tj.

dostáváme všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu : , , .

Nalezením všech nenulových řešení soustavy , tj.

dostáváme všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu : , , .

Protože je

je zřejmé, že všechny vektory splňující podmínku a jsou tvaru , kde . Zvolíme-li , , dostáváme obecné řešení homogenní soustavy ve tvaru ( jsou libovolné konstanty):

tj.

Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme pomocí metody variace konstant:

Dosazením do soustavy získáme algebraickou soustavu rovnic tvaru (po vydělení výrazem )

která má řešení , , , odtud , , (integrační konstanty volíme všechny nula), tj.

Obecné řešení nehomogenní soustavy je tvaru:

Nyní určíme konstanty tak, aby byly splněny počáteční podmínky, tj. řešíme soustavu lineárních algebraických rovnic

Tato soustava má řešení . Řešení splňující počáteční podmínku je tvaru:

Protože vlastní čísla jsou kladná, nejsou řešení stabilní ani asymptoticky stabilní.

Příklad. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

Rozhodněte, zda je každé řešení soustavy stabilní a asymptoticky stabilní.

ŘEŠENÍ: Označme

Protože , jsou vlastní čísla a . Všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu jsou tvaru , , k jsou všechny vlastní vektory tvaru , . Protože je

a pro vektor je a , má homogenní soustava obecné řešení tvaru ( libovolné konstanty):

tj.

Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru Dosazením do soustavy dostaneme

což po úpravě vede na soustavu

která má řešení , . Obecné řešení nehomogenní soustavy má tvar

Řešení splňující počáteční podmínku je tvaru (postupujeme stejně jako v předchozím případě, ):

Protože vlastní čísla jsou kladná, nejsou řešení stabilní ani asymptoticky stabilní. Příklad. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

Rozhodněte, zda je každé řešení soustavy asymptoticky stabilní.

ŘEŠENÍ: Označme matici soustavy. Protože , jsou vlastní čísla a . Všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu jsou tvaru , , k jsou tvaru , . Protože je

a pro vektor je a , má homogenní soustava obecné řešení tvaru:

tj.

Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru Dosazením do soustavy dostáváme po úpravě algebraickou soustavu lineárních rovnic

která má řešení , , . Obecné řešení nehomogenní soustavy má tvar:

Zbývá nalézt konstanty a tak, aby

tj. řešit soustavu

Soustava má řešení , a , a tedy řešení splňující počáteční podmínku je

Protože všechna vlastní čísla matice nemají záporné reálné části, nejsou řešení soustavy asymptoticky stabilní.

Příklad. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

Rozhodněte, zda je každé řešení soustavy asymptoticky stabilní.

ŘEŠENÍ: Označme matici soustavy. Protože , jsou vlastní čísla matice rovny: a . Všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu jsou tvaru , . K nalezení vlastních vektorů k vlastnímu číslu řešíme v komplexním oboru soustavu

která je ekvivalentní se soustavou

a která má řešení , . Protože je

má podle (1.19) a (1.20) homogenní soustava obecné řešení tvaru

Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru Po dosazení do soustavy dostáváme soustavu lineárních rovnic tvaru

která má řešení , . Obecné řešení nehomogenní soustavy má tvar

Zbývá nalézt konstanty a tak, aby

tj. řešit soustavu

Soustava má řešení , a . Řešení splňující počáteční podmínku je tedy

Podle kritéria nejsou řešení soustavy asymptoticky stabilní, neboť vlastní čísla nemají zápornou reálnou část.

Příklad. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

Rozhodněte, zda je každé řešení soustavy asymptoticky stabilní.

ŘEŠENÍ: Označme matici soustavy. Protože , jsou vlastní čísla a . Všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu jsou tvaru , . Abychom našli všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu , musíme najít nenulová řešení soustavy

která je ekvivalentní se soustavou

Ta má nenulová řešení tvaru , . Protože je

má homogenní soustava obecné řešení tvaru (viz (1.19) a (1.20)):

Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru Příslušná soustava má řešení , (partikulární řešení hledáme stejně jako v předchozím příkladě). Obecné řešení nehomogenní soustavy je

Řešení splňující počáteční podmínku je tvaru (, , ):

Podle kritéria nejsou řešení soustavy asymptoticky stabilní ( má kladnou reálnou část).

Squadra di realizzazione | Potenziato da LINUX | Versione 3.2.3