| e-learning.tul.cz
|  | Guest10 On-line

Navigation
Menu principal Contenu

Nehomogenní soustavy OLDR 1. řádu - variace konstant Řešení Cauchyovy úlohy pro nehomogenní soustavu OLDR tvaru

| (1.12)

se spojitou maticovou funkcí a vektorovou funkcí na otevřeném intervalu , , , (řešení této úlohy existuje a je jednoznačně určeno - viz výše) lze hledat pomocí tzv. metody variace konstant.

Hledejme řešení soustavy (1.12) ve tvaru

kde je fundamentální matice homogenní soustavy ODR (1.7) a neznámý sloupcový vektor funkcí. Dosazením do (1.12) dostáváme:

tj.

| (1.13)

neboť . Protože je matice pro každé regulární, můžeme rovnost v (1.13) vynásobit inverzní maticí a obdržíme

Integrováním poslední rovnosti v mezích od do dostaneme

tedy

je hledané řešení soustavy (1.12).

Odvozený výsledek si zapíšeme ve tvaru věty.

Věta Jsou-li maticová funkce a vektorová funkce na otevřeném intervalu spojité a je-li libovolné, má Cauchyova úloha

pro libovolný bod právě jedno řešení definované na intervalu vztahem

| (1.14)

zde označuje fundamentální matici soustavy .

Příklad. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy

| (1.15)

ŘEŠENÍ: Máme . Fundamentální matice homogenní soustavy je dána vztahem (1.11). Abychom mohli užít vztah (1.14), musíme vypočítat a . Po snadném, ale pracném výpočtu zjistíme, že

a tedy

Dosazením do (1.14) máme

Poznámka. Předpokládejme, že jsme nalezli jedno řešení , soustavy

Takové řešení nazýváme partikulární . Chceme-li nalézt všechna řešení uvedené soustavy, položme

a dosaďme do soustavy. Dostáváme:

Odtud plyne, že všechna řešení soustavy jsou tvaru (tzv. obecné řešení ):

kde je libovolné řešení homogenní soustavy

Strukturou řešení homogenní soustavy jsme se zabývali v předchozím odstavci.

Příklad. S ohledem na předchozí poznámku lze Cauchyovu úlohu (1.15) řešit následujícím způsobem, který bývá v konkrétních situacích zpravidla jednodušší: Označíme řešení homogenní soustavy (1.15), tj. sloupce matice v (1.11). Hledáme neznámé funkce tak, aby

bylo řešením soustavy (1.15). Snadno zjistíme, že

Dosazením do soustavy (1.15) a využitím faktu, že dostáváme soustavu (algebraických rovnic) pro neznámé funkce:

Celou soustavu vydělíme kladnou funkcí a z první rovnice soustavy máme

(Integrační konstantu lze volit libovolně, pro usnadnění je zpravidla výhodné volit nulu.) Další rovnice soustavy pak mají tvar:

Jak snadno spočteme, je determinant této soustavy roven -1, a tedy hledaná řešení jsou:

Po integrování (integrační konstanty volíme opět nuly) máme:

Partikulární řešení má tedy tvar

Z řešení příkladu v kapitole 1.3.1 víme, že libovolné řešení homogenní soustavy (1.11) lze psát ve tvaru

kde jsou konstanty. Obecné řešení soustavy (1.15) má tvar

Abychom nalezli řešení Cauchyovy úlohy, musíme určit konstanty z počáteční podmínky. Dostáváme soustavu lineárních algebraických rovnic:

Jak snadno zjistíme, má tato soustava (jediné) řešení , , . Tedy hledané řešení Cauchyovy úlohy je

Po úpravě dostáváme hledané řešení Cauchyovy úlohy:

Equipe de réalisation | Réalisé sur Linux | Version 3.2.3