| e-learning.tul.cz
|  | Guest10 On-line

Navigation
Menu principal Contenu

Homogenní soustavy OLDR 1. řádu V této části se budeme zabývat vlastnostmi řešení homogenní soustavy OLDR

| (1.7)

Lemma. Všechna řešení soustavy (1.7) tvoří vektorový prostor.

DŮKAZ. Stačí ukázat, že součet řešení je řešení a že reálný násobek řešení je opět řešení. Označme dvě libovolná řešení (1.7). Potom je

tj. je řešení soustavy (1.7).

Je-li , je , tj. je řešením soustavy (1.7).

Jsou-li koeficienty matice "rozumné", tvoří všechna řešení soustavy (1.7) vektorový prostor dimenze . Přesně je tvrzení formulováno v následující větě.

Věta. Předpokládejme, že maticová funkce je na otevřeném intervalu spojitá. Potom množina všech řešení soustavy

tvoří vektorový prostor dimenze .

DŮKAZ plyne snadno z věty o existenci a jednoznačnosti řešení soustavy OLDR. Zvolme libovolně a označme -tý jednotkový vektor v . Podle zmíněné věty existují řešení Cauchyových úloh

Řešení jsou lineárně nezávislá, neboť je-li pro všechna , je speciálně . Protože vektory tvoří bázi vektorového prostoru , musí být . Tedy řešení , , jsou lineárně nezávislá.

Předchozí věta nám dovoluje zavést pojem fundamentálního systému či fundamentální matice. Každých lineárně nezávislých řešení soustavy (1.7) na intervalu nazýváme fundamentálním systémem soustavy (1.7). Matici, jejíž sloupce tvoří vektory , tj.

| (1.8)

nazýváme fundamentální maticí soustavy (1.7).

Pomocí fundamentální matice lze jednoduše vyjádřit všechna řešení soustavy (1.7).

Tvrzení. Je-li fundamentální matice soustavy (1.7), pak libovolné řešení soustavy (1.7) lze psát ve tvaru

| (1.9)

kde je sloupcový vektor vhodných konstant.

Naskýtá se otázka, jak můžeme snadno zjistit, zda řešení tvoří fundamentální systém. Odpověď dává

Lemma. Jsou-li řešení soustavy (1.7) na otevřeném intervalu a je-li determinant matice (1.8) různý od nuly alespoň v jednom bodě , tvoří řešení fundamentální systém soustavy (1.7). Dále platí (za uvedených předpokladů): determinant (fundamentální) matice je různý od nuly pro všechna .

Příklad. Uvažujme soustavu OLDR

| (1.10)

Ověříme, že

tvoří fundamentální systém řešení soustavy (1.10). Je:

Po dosazení do (1.10) zjistíme, že , , jsou řešení dané soustavy. Abychom ověřili, že tato řešení tvoří fundamentální systém, stačí vypočítat

Protože je determinant různý od nuly, tvoří , a fundamentální systém. Fundamentální matice pro soustavu (1.10) má tvar

| (1.11)

(Metodou nalezení fundamentálního systému řešení pro soustavy typu (1.10) se budeme zabývat v části 1.4.)

Equipe de réalisation | Réalisé sur Linux | Version 3.2.3