| e-learning.tul.cz
|  | Guest10 On-line

Navigazione
Menu principale Contenuto

Asymptotická stabilita Nyní se budeme zabývat poslední otázkou. Mají-li všechna vlastní čísla matice zápornou reálnou část, potom se každé řešení soustavy (1.42) blíží k pro jdoucí k . (Toto plyne snadno z odhadu , , který není těžké odvodit.) Tedy nejenže je rovnovážný stav stabilní, ale každé řešení soustavy (1.42) se blíží k () pro . Tento druh stability se nazývá asymptotická stabilita.

Pojem asymptotické stability lze zavést i pro soustavy (1.40). Řešení soustavy (1.40) se nazývá asymptoticky stabilní, je-li stabilní a jestliže každé řešení soustavy (1.40) s počáteční podmínkou "blízkou" se blíží k pro . Speciálně je rovnovážný stav soustavy (1.40) asymptoticky stabilní, jestliže se každé řešení soustavy (1.40) s počáteční podmínkou "blízkou" blíží k pro .

Poznámka. Je zřejmé, že asymptotická stabilita řešení soustavy (1.42) je ekvivalentní asymptotické stabilitě rovnovážného stavu .

Tvrzení. Řešení soustavy (1.42) je asymptoticky stabilní právě tehdy, mají-li všechna vlastní čísla matice záporné reálné části.

Než uvedeme několik příkladů, ukážeme si, jak můžeme zjistit, zda mají všechna vlastní čísla matice záporné reálné části, aniž bychom přímo vlastní čísla znali.

Hurwitzovo kritérium. Nechť je polynom () s reálnými koeficienty, , . Přiřaďme polynomu Hurwitzovu matici

kde klademe pro a .

Potom mají všechny kořeny polynomu záporné reálné části právě tehdy, jsou-li všechny hlavní diagonální minory Hurwitzovy matice polynomu kladné.

V některých případech může být užitečné toto

Tvrzení. Nechť stopa matice je kladná, tj. součet prvků matice na hlavní diagonále nebo . Potom alespoň jedno vlastní číslo matice má kladnou reálnou část.

Příklad. Vyšetřete, zda jsou všechna řešení soustavy stabilní, asymptoticky stabilní či nestabilní, je-li

ŘEŠENÍ: (a) Protože stopa matice je , má alespoň jedno vlastní číslo matice kladnou reálnou část a tedy všechna řešení jsou nestabilní.

(b) Charakteristický polynom matice je , tj. . Protože jsou všechna vlastní čísla matice záporná, je každé řešení asymptoticky stabilní.

Pokud bychom neuměli nalézt všechny kořeny charakteristického polynomu, můžeme užít Hurwitzova kritéria. Hurwitzova matice příslušná polynomu je

Protože , a (hlavní diagonální minory kladné), mají podle Hurwitzova kritéria všechny kořeny charakteristického polynomu záporné reálné části a tedy všechna řešení jsou asymptoticky stabilní.

(c) Charakteristický polynom matice je , tj. . Všechna řešení jsou tedy stabilní, ale nejsou asymptoticky stabilní.

Příklad. Ukažte, že každé řešení soustavy ODR s

je nestabilní.

ŘEŠENÍ: Charakteristický polynom matice je , tj. .

Vlastní vektor matice příslušný k musí splňovat soustavu

tj. a . Každý vlastní vektor příslušný matici a vlastnímu číslu 0 je tvaru , . Tedy každé řešení soustavy je nestabilní, neboť je vlastní číslo násobnosti dvě a matice má pouze jediný lineárně nezávislý vektor odpovídající vlastnímu číslu 0.

Poznámka. Někdy se užívá také označení ljapunovovská stabilita, resp. ljapunovovská asymptotická stabilita, místo stability, resp. asymptotické stability. Další kritéria stability pro obecnější soustavy lze nalézt v [4].

Squadra di realizzazione | Potenziato da LINUX | Versione 3.2.3