Zápočty, výsledky testů a zkoušek
Zápočty se udělují po splnění podmínek stanovených na začátku ZS, tj. po získání alespoň 15 bodů ze semestrálních úloh a alespoň 10 bodů z obou testů. Každý z testů si lze jednou opravit.
2008/2009

Výsledky testů, semestrálních prací a zkoušek

Zápočet bude studentům/studentkám zapsán při zkoušce.

V měsících březen až květen budou vypsány alespoň tři zkouškové termíny.

2007/2008
Tabulka se zápočty je zde:

V tabulkách žlutá barva označuje splnění podmínek - semestrálních úloh, testů, nárok na zápočet.

Cihlová barva označuje ty studenty, kteří již nemohou v žádném případě získat zápočet.

Zápočet bude studentům/studentkám zapsán při zkoušce.

Informace o termínech psaní opravných testů budou zveřejňovány zde.

V Liberci 22. listopadu 2007 | Miroslav Brzezina

Semestrální úlohy

Kódy jsou uvedeny v souboru Výsledky testů, semestrálních prací a zkoušek.

1. série úloh z Matematiky IIB

Odevzdání: v týdnu 10.11. - 14.11. 2008 na cvičení

Pokyny k vypracování: Každému studentovi je přidělen kód skládající se ze 4 cifer, např. 0192. To znamená, že odevzdá (0) varianta 1. příkladu, (1) varianta 2. příkladu, (9) varianta 3. příkladu a (2) varianta 4. příkladu. Řešení příkladů pište na list papíru formátu A4, který označte jménem, číslem studijní skupiny a přiděleným kódem. Pozor, po stanoveném termínu nelze příklady odevzdat! Příklady odevzdávejte pouze na cvičeních.
Hodnocení: za 1. a 3. příklad po 3 bodech, za 2. a 4. příklad po 2 bodech.

1. Vypočítejte hmotnost a určete souřadnice těžiště rovinné desky s hustotou , je-li:

1. ohraničená osou , přímkou a křivkou , ;
2. ohraničená křivkami , , a , ;
3. ohraničená kružnicí , , souřadnicovými osami, ležící v 1. kvadrantu, ;
4. obdélník o vrcholech ;
5. ohraničená osou a horní polovinou kruhu , ;

Nalezněte souřadnice těžiště množiny , je-li:

1. ohraničená křivkami a ;
2. ohraničená parabolami , ;
3. nad osou a mezi kružnicemi , , ;
4. trojúhelník ohraničený přímkami , a ;
5. ohraničená osou a pravou polovinou kruhu , .

2. Určete objem tělesa , je-li:

1. ohraničeno paraboloidem a rovinou ;
2. ohraničeno shora a zdola sférou a po stranách válcem ;
3. v 1. oktantu, pod sférou a uvnitř válce ;
4. mezi kuželem a rovinou , , ;
5. ohraničeno shora sférou a zdola kuželem (popis ve sférických souřadnicích);
6. v 1. oktantu ohraničeno sférou , souřadnicovými rovinami a mezi kužely , (popis ve sférických souřadnicích);
7. uvnitř sféry , vně kužele a nad rovinou ;
8. uvnitř kužele a mezi sférami a (popis ve sférických souřadnicích);
9. ohraničeno sférou a rovinami , , ;
10. ohraničeno shora parabolickým válcem a zdola eliptickým paraboloidem .

3. Vypočítejte hmotnost a určete souřadnice těžiště tělesa s hustotou , je-li;

1. ohraničeno válcovou plochou , kuželovou plochou a rovinou ;
2. ohraničeno paraboloidem a rovinou , ;
3. v 1. oktantu ohraničeno válcovou plochou , souřadnicovými rovinami a rovinou , , ;
4. polokoule ohraničená plochou a rovinou a je-li hustota v daném bodě přímo úměrná vzdálenosti tohoto bodu od počátku;
5. ohraničeno shora sférou a zdola paraboloidem , , ;

Vypočítejte hmotnost tělesa s hustotou , je-li:

1. mezi sférami a , ;
2. koule o poloměru a je-li hustota v daném bodě přímo úměrná vzdálenosti bodu od středu koule;
3. mezi sférou a kuželem , ;
4. v 1. oktantu ohraničeno shora paraboloidem , zdola rovinou a po stranách válcovou plochou a rovinami , , ;
5. koule , , , (popis ve sférických souřadnicích).

4. Vypočítejte obsah množiny , je-li;

1. ohraničená lemniskátou , (popis v polárních souřadnicích);
2. v 1. kvadrantu, uvnitř kružnice a vně lemniskáty (popis v polárních souřadnicích);
3. ohraničená kardioidou (popis v polárních souřadnicích);
4. v 1. kvadrantu ohraničená křivkami a (popis v polárních souřadnicích);
5. uvnitř kružnice a napravo od přímky ;
6. uvnitř kružnice a vně kardioidy (popis v polárních souřadnicích);
7. uvnitř kružnice a vně kruhu (popis v polárních souřadnicích);
8. ohraničená křivkami a ;
9. ohraničená křivkami a ;
10. uvnitř kružnice a vně kružnice (popis v polárních souřadnicích).

2. série úloh z Matematiky IIB

Odevzdání: v týdnu 17.11. - 21.11. 2008 na cvičení

Pokyny k vypracování: Každému studentovi je přidělen kód skládající se ze 4 cifer, např. 0192. To znamená, že odevzdá (0) varianta 1. příkladu, (1) varianta 2. příkladu, (9) varianta 3. příkladu a (2) varianta 4. příkladu. Řešení příkladů pište na list papíru formátu A4, který označte jménem, číslem studijní skupiny a přiděleným kódem. Pozor, po stanoveném termínu nelze příklady odevzdat! Příklady odevzdávejte pouze na cvičeních.
Hodnocení: za 1. a 3. příklad po 3 bodech, za 2. a 4. příklad po 2 bodech.

1. Vypočítejte hmotnost křivky :

1. , , , , , je-li hustota v bodě křivky úměrná čtvrté mocnině jeho vzdálenosti od počátku souřadnic;
2. která vznikne průnikem sféry a válcové plochy , (), je-li . (Uvažte, že , .

Vypočítejte délku křivky:

1. , , , , ;
2. , , , , ;
3. , , , , ;
4. , , , ;
5. , , , , ;
6. , , .

Vypočítejte křivkový integrál prvního druhu:

1. , : , , ;
2. , : , , .

2. Vypočítejte pomocí Greenovy věty (všechny křivky jsou kladně orientovány):

1. , : ;
2. , : ;
3. , : ;
4. , je obdélník s vrcholy , , , ;
5. , : ;

Vypočítejte:

1. , je elipsa o poloosách , kladně orientovaná;
2. , : , , ;
3. , je lomená čára , , , , ;
4. , : , , ;
5. , je lomená čára , , , , .

1. Nalezněte obsah části válcové plochy nad čtvercem ;
2. Pomocí plošného integrálu najděte obsah části roviny ležící v I. oktantu;
3. Nalezněte obsah části kužele , který leží nad oblastí v I. kvadrantu omezenou přímkou a parabolou ;
4. Najděte obsah části kuželové plochy ležící uvnitř válce ;
5. Najděte obsah plochy části paraboloidu nad rovinou ;
6. Najděte obsah plochy nad trojúhelníkem v rovině o vrcholech , a ;
7. Najděte obsah části plochy , která leží nad množinou v I. kvadrantu omezenou křivkami , a kružnicí ;
8. Určete obsah části paraboloidu ležícího uvnitř válce ;
9. Určete obsah části sféry mezi rovinami a ;
10. Najděte obsah části sféry , která leží vně kužele .

4. Vypočítejte následující plošné integrály:

1. , ;
2. , jako v (0);
3. , jako v (0);
4. Vypočítejte moment setrvačnosti části kuželové plochy mezi rovinami a vzhledem k ose , je-li hustota kuželové plochy v každém bodě nepřímo úměrná čtvrté mocnině vzdálenosti tohoto bodu od počátku .
5. Vypočítejte moment setrvačnosti sféry vzhledem k ose , je-li hustota sféry v každém bodě rovna čtverci vzdálenosti tohoto bodu od osy .
6. Vypočítejte hmotnost plochy nad množinou , je-li hustota v každém bodě rovna vzdálenosti bodu od počátku souřadnic.

Vypočítejte hmotnost plochy trojúhelníka o vrcholech , , , je-li hustota dána vztahem:

1. ,& ;
2. , ;
3. , ;
4. , .

3. série úloh z Matematiky IIB

Odevzdání: v týdnu 1.12. - 5.12. 2008 na cvičení

Pokyny k vypracování: Každému studentovi je přidělen kód skládající se ze 4 cifer, např. 0192. To znamená, že odevzdá (0) varianta 1. příkladu, (1) varianta 2. příkladu, (9) varianta 3. příkladu a (2) varianta 4. příkladu. Řešení příkladů pište na list papíru formátu A4, který označte jménem, číslem studijní skupiny a přiděleným kódem. Pozor, po stanoveném termínu nelze příklady odevzdat! Příklady odevzdávejte pouze na cvičeních.
Hodnocení: za 1. a 3. příklad po 3 bodech, za 2. a 4. příklad po 2 bodech.

1. Vypočítejte pomocí divergentní věty tok vektoru uzavřenou plochou (orientovanou vektorem vnější normály), tj. , je-li:

1. , , ;
2. , ;
3. , je povrch kvádru ;
4. , ;
5. , .

Vypočítejte pomocí Stokesovy věty , je-li:

1. , je horní polovina jednotkové sféry orientovaná vektorem normály v bodě ;
2. , jako v (5);
3. , je trojúhelník o vrcholech , , orientován vektorem normály v bodě ;
4. , jako ve (7);
5. , jako ve (7).

2. Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu diferenciálních rovnic:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. .

3. Pomocí Laplaceovy transformace najděte řešení Cauchyovy úlohy:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. .

4. Určete Laplaceovu transformaci dané funkce (konečného impulsu), je-li:

1. pro pro ;
2. pro pro ;
3. pro pro ;
4. pro pro .

Určete Laplaceovu transformaci dané periodické funkce , je-li:

1. ;
2. .

Nalezněte řešení integrální, resp. integrodiferenciální, rovnice:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Zkoušky
Úspěšnost u zkoušky 2008/2009

7. ledna 2009

14. ledna 2009

21. ledna 2009

Úspěšnost u zkoušky 2007/2008

16. ledna 2008

23. ledna 2008

30. ledna 2008

6. února 2008

13. února 2008

4. března 2008

8. dubna 2008

29. dubna 2008

6. května 2008

Slovník Laplaceovy transformace
Slovnik Laplaceovy transformace ve formatu *.ps., Slovník Laplaceovy transformace ve formátu *.pdf
Tabulky integrálů
Tabulka integrálů ve formatu *.ps., Tabulka integrálů ve formatu *.pdf.
Sylabus Matematika 2B
2007/2008
KAP 2. roč. ZS 2007-08 Matematika 2B (2+2 zk) sylabus

Anotace předmětu: Integrální počet funkcí více proměnných a jeho aplikace na geometrické, fyzikální a technické problémy. Křivkové a plošné integrály a jejich užití při technických výpočtech. Soustavy obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty a jejich řešení. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav pomocí Laplaceovy transformace.

Obsah přednášek:

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic:

Cauchyova úloha, pojem řešení a jeho vlastnosti. Soustava obyčejných lineárních diferenciál-ních rovnic 1. řádu. Řešení soustav obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantní-mi koeficienty. Stabilita řešení obyčejných diferenciálních rovnic.

Řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav pomocí Laplaceovy transformace:

Pojem Laplaceovy transformace, základní vlastnosti, „slovník” Laplaceovy transformace. Řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav. Aplikace na řešení mechanických soustav.

Integrální počet funkcí více proměnných:

Integrační obory v kartézských a polárních souřadnicích v R2, v kartézských, válcových a kulových souřadnicích v R3. Dvojný a trojný integrál, jejich vlastnosti: Výpočet dvojného a trojného integrálu (Fubiniova věta), transformace souřadnic. Užití dvojného a trojného integrálu (výpočet objemu, hmotnosti, momentů setrvačnosti, těžiště těles).

Teorie pole:

Vektorové a skalární pole, potenciálové pole, rotace. Křivkové integrály I. a II. druhu, Greenova věta, nezávislost křivkového integrálu II. druhu na integrační cestě. Plošné integrály I. a II. druhu, Stokesova a divergenční věta. Užití křivkových a plošných integrálů ve fyzice a technice.

Literatura:

Veit, J.: Integrální transformace, SNTL Praha 1983, (MVŠT).

Mezník, I. – Karásek, J. – Miklíček, J.: Matematika I. pro strojní fakulty, SNTL Praha 1992.

Nagy, J. – Nováková, E. – Vacek, M.: Integrální počet, SNTL Praha 1984, (MVŠT).

Zelinka, B.: Matematika III. VŠST, Liberec, 1994.

Brzezina, M.: Jak na soustavy obyčejných diferenciálních rovnic? TU Liberec, Liberec, 2001.

Návaznost předmětu: Získání zápočtu z Matematiky 2A.

Garant a přednášející: doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc., doc. RNDr. František Tumajer, DrSc. (Mladá Boleslav), RNDr. Zdeněk Kalousek, CSc. (Jihlava)

Cvičící: doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc., doc. RNDr. František Tumajer, DrSc. (Mladá Boleslav), Jan Staněk, CSc., doc. Petr Volf, CSc., RNDr. Martina Šimůnková, PhD., RNDr. Zdeněk Kalousek, CSc. (Jihlava)

Podmínky k získání zápočtu: Během semestru budou psány 2 písemné testy (po 10 bodech). Zúčastní-li se student alespoň 10 cvičení, bude si moci opravit (jednou) každý z testů. Dále, studenti vypracují 4 sady úloh, každá po 10 bodech. Student, který získá 20 a více bodů z těchto úloh a 10 a více bodů z testů, získá zápočet. Úlohy je nutné odevzdávat ve stanovených termínech, pozdní odevzdání se hodnotí 0 body. Výše uvedená podmínka platí pro studenty prezenčního studia.

Studenti kombinovaného studia získají zápočet za získání 20 a více bodů z výše uvedených 4 sad úloh.

Zkouška: Zkouška je písemná a je možné ji vykonat, má-li student/ka zápočty z Matematiky 2A a Matematiky 2B. Doporučuji, aby student/ka měl/a také zkoušku z Matematiky 1B.

Přednáška: čtvrtek: 2. blok P14.

Cvičení: Mladá Boleslav (Tumajer), Jihlava (Kalousek), ostatní viz STAG.

Konzultační hodiny: středa od 8:50 do 10:20, jindy jen po předchozí dohodě, sekretariát našeho pracoviště není obsazen, veškere záležitosti týkající se výuky (dotazy apod.) proto budu řešit před či po přednášce.

Upozornění: Pro lepší informovanost studentů bude k dispozici WWW - stránka o výuce, kterou zajišťuji a na níž můžete získat další informace:

http://e-learning.tul.cz

V Liberci 25. září 2007

Miroslav Brzezina

2006/2007
KAP 2. roč. ZS 2006-07 Matematika 2B (2+2 zk) sylabus

Anotace předmětu: Integrální počet funkcí více proměnných a jeho aplikace na geometrické, fyzikální a technické problémy. Křivkové a plošné integrály a jejich užití při technických výpočtech. Soustavy obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty a jejich řešení. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav pomocí Laplaceovy transformace.

Obsah přednášek:

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic:

Cauchyova úloha, pojem řešení a jeho vlastnosti. Soustava obyčejných lineárních diferenciál-ních rovnic 1. řádu. Řešení soustav obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantní-mi koeficienty. Stabilita řešení obyčejných diferenciálních rovnic.

Řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav pomocí Laplaceovy transformace:

Pojem Laplaceovy transformace, základní vlastnosti, „slovník” Laplaceovy transformace. Řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav. Aplikace na řešení mechanických soustav.

Integrální počet funkcí více proměnných:

Integrační obory v kartézských a polárních souřadnicích v R2, v kartézských, válcových a kulových souřadnicích v R3. Dvojný a trojný integrál, jejich vlastnosti: Výpočet dvojného a trojného integrálu (Fubiniova věta), transformace souřadnic. Užití dvojného a trojného integrálu (výpočet objemu, hmotnosti, momentů setrvačnosti, těžiště těles).

Teorie pole:

Vektorové a skalární pole, potenciálové pole, rotace. Křivkové integrály I. a II. druhu, Greenova věta, nezávislost křivkového integrálu II. druhu na integrační cestě. Plošné integrály I. a II. druhu, Stokesova a divergenční věta. Užití křivkových a plošných integrálů ve fyzice a technice.

Literatura:

Veit, J.: Integrální transformace, SNTL Praha 1983, (MVŠT).

Mezník, I. – Karásek, J. – Miklíček, J.: Matematika I. pro strojní fakulty, SNTL Praha 1992.

Nagy, J. – Nováková, E. – Vacek, M.: Integrální počet, SNTL Praha 1984, (MVŠT).

Zelinka, B.: Matematika III. VŠST, Liberec, 1994.

Brzezina, M.: Jak na soustavy obyčejných diferenciálních rovnic? TU Liberec, Liberec, 2001.

Návaznost předmětu: Získání zápočtu z Matematiky 2A.

Garant a přednášející: doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc.

Cvičící: doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc., Mgr. Jan Militký (Mladá Boleslav), RNDr. Milan Dvořák, Jan Staněk, CSc., doc. Petr Volf, CSc.

Podmínky k získání zápočtu: Během semestru budou psány 2 písemné testy (po 10 bodech). Zápočet bude udělen za získání alespoň 10 bodů z testů. Zúčastní-li se student alespoň 10 cvičení, bude si moci opravit (jednou) každý z testů. Výše uvedená podmínka platí pro studenty prezenčního studia.

Studenti kombinovaného studia vypracují 3 sady úloh, každá po 10 bodech. Student, který získá 15 a více bodů z těchto úloh, získá zápočet. Úlohy je možné odevzdávat nejpozději do 16. února 2007.

Zkouška: Zkouška je písemná a je možné ji vykonat, má-li student/ka a zápočty z Matematiky 2A a Matematiky 2B. Doporučuji, aby student/ka měl/a také zkoušku z Matematiky 1B.

Přednáška: úterý: 7. blok C1.

Cvičení: Mladá Boleslav (Militký), úterý 4. blok (Brzezina), středa 1., 7. blok (Dvořák), středa 3., 4., 6. blok (Staněk), čtvrtek 5., 6. blok (Volf), pátek 3. blok (Volf),

Konzultační hodiny: úterý od 16:00 do 17:30, jindy jen po předchozí dohodě, sekretariát našeho pracoviště není obsazen, veškere záležitosti týkající se výuky (dotazy apod.) proto budu řešit před či po přednášce.

Upozornění: Pro lepší informovanost studentů bude k dispozici WWW - stránka o výuce, kterou zajišťuji a na níž můžete získat další informace:

http://e-learning.vslib.cz

V Liberci 30. září 2006

Miroslav Brzezina

2005/2006
KAP 2. roč. ZS 2005-06 Matematika 2B (2+2 zk) sylabus

Anotace předmětu: Integrální počet funkcí více proměnných a jeho aplikace na geometrické, fyzikální a technické problémy. Křivkové a plošné integrály a jejich užití při technických výpočtech. Soustavy obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty a jejich řešení. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav pomocí Laplaceovy transformace.

Obsah přednášek:

Integrální počet funkcí více proměnných:

Integrační obory v kartézských a polárních souřadnicích v R2, v kartézských, válcových a kulových souřadnicích v R3. Dvojný a trojný integrál, jejich vlastnosti: Výpočet dvojného a trojného integrálu (Fubiniova věta), transformace souřadnic. Užití dvojného a trojného integrálu (výpočet objemu, hmotnosti, momentů setrvačnosti, těžiště těles).

Teorie pole:

Vektorové a skalární pole, potenciálové pole, rotace. Křivkové integrály I. a II. druhu, Greenova věta, nezávislost křivkového integrálu II. druhu na integrační cestě. Plošné integrály I. a II. druhu, Stokesova a divergenční věta. Užití křivkových a plošných integrálů ve fyzice a technice.

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic:

Cauchyova úloha, pojem řešení a jeho vlastnosti. Soustava obyčejných lineárních diferenciál-ních rovnic 1. řádu. Řešení soustav obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantní-mi koeficienty. Stabilita řešení obyčejných diferenciálních rovnic.

Řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav pomocí Laplaceovy transformace:

Pojem Laplaceovy transformace, základní vlastnosti, „slovník” Laplaceovy transformace. Řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav. Aplikace na řešení mechanických soustav.

Literatura:

Veit, J.: Integrální transformace, SNTL Praha 1983, (MVŠT).

Mezník, I. – Karásek, J. – Miklíček, J.: Matematika I. pro strojní fakulty, SNTL Praha 1992.

Nagy, J. – Nováková, E. – Vacek, M.: Integrální počet, SNTL Praha 1984, (MVŠT).

Zelinka, B.: Matematika III. VŠST, Liberec, 1994.

Brzezina, M.: Jak na soustavy obyčejných diferenciálních rovnic? TU Liberec, Liberec, 2001.

Návaznost předmětu: Získání zápočtu z Matematiky 2A.

Garant a přednášející: doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc.

Cvičící: doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc., RNDr. Zdeněk Kalousek, CSc., Mgr. Jan Militký (Mladá Boleslav), RNDr. Petr Salač, CSc., RNDr. Martina Šimůnková, PhD., doc. Petr Volf, CSc.

Podmínky k získání zápočtu: Během semestru budou psány 2 písemné testy (po 10 bodech). Dále budou zadány 3 sady úloh, za správné řešení každé sady lze získat maximálně 10 bodů. Zápočet bude udělen za získání alespoň 10 bodů z testů a alespoň 15 bodů ze zadaných úloh. Zúčastní-li se student alespoň 10 cvičení, bude si moci opravit (jednou) každý z testů.

Zkouška: Zkouška je písemná a je možné ji vykonat, má-li student/ka a zápočty z Matematiky 2A a Matematiky 2B. Doporučuji, aby student/ka měl/a také zkoušku z Matematiky 1B.

Přednáška: úterý: 1. blok P14.

Cvičení: pondělí 2., 3. blok (Salač), 5., 6. blok (Kalousek), Mladá Boleslav (Militký), úterý 5. blok (Brzezina), středa 3., 4. blok (Šimůnková), čtvrtek 1. blok (Salač), pátek 2., 3. blok (Volf),

Konzultační hodiny: úterý od 9:00 do 10:00, jindy jen po předchozí dohodě, sekretariát našeho pracoviště není obsazen, veškere záležitosti týkající se výuky (dotazy apod.) proto budu řešit před či po přednášce.

Upozornění: Pro lepší informovanost studentů bude k dispozici WWW - stránka o výuce, kterou zajišťuji a na níž můžete získat další informace:

http://e-learning.vslib.cz

V Liberci 30. září 2005

Miroslav Brzezina

2004/2005
KKY 2. roč. ZS 2004-05 Matematika 2B (2+2 zk) sylabus

Anotace předmětu: Integrální počet funkcí více proměnných a jeho aplikace na geometrické, fyzikální a technické problémy. Křivkové a plošné integrály a jejich užití při technických výpočtech. Soustavy obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty a jejich řešení. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav pomocí Laplaceovy transformace.

Obsah přednášek:

Integrální počet funkcí více proměnných:

Integrační obory v kartézských a polárních souřadnicích v R2, v kartézských, válcových a kulových souřadnicích v R3. Dvojný a trojný integrál, jejich vlastnosti: Výpočet dvojného a trojného integrálu (Fubiniova věta), transformace souřadnic. Užití dvojného a trojného integrálu (výpočet objemu, hmotnosti, momentů setrvačnosti, těžiště těles).

Teorie pole:

Vektorové a skalární pole, potenciálové pole, rotace. Křivkové integrály I. a II. druhu, Greenova věta, nezávislost křivkového integrálu II. druhu na integrační cestě. Plošné integrály I. a II. druhu, Stokesova a divergenční věta. Užití křivkových a plošných integrálů ve fyzice a technice.

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic:

Cauchyova úloha, pojem řešení a jeho vlastnosti. Soustava obyčejných lineárních diferenciál-ních rovnic 1. řádu. Řešení soustav obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantní-mi koeficienty. Stabilita řešení obyčejných diferenciálních rovnic.

Řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav pomocí Laplaceovy transformace:

Pojem Laplaceovy transformace, základní vlastnosti, „slovník” Laplaceovy transformace. Řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav. Aplikace na řešení mechanických soustav.

Literatura:

Veit, J.: Integrální transformace, SNTL Praha 1983, (MVŠT).

Mezník, I. – Karásek, J. – Miklíček, J.: Matematika I. pro strojní fakulty, SNTL Praha 1992.

Nagy, J. – Nováková, E. – Vacek, M.: Integrální počet, SNTL Praha 1984, (MVŠT).

Zelinka, B.: Matematika III. VŠST, Liberec, 1994.

Brzezina, M.: Jak na soustavy obyčejných diferenciálních rovnic? TU Liberec, Liberec, 2001.

Návaznost předmětu: Získání zápočtu z Matematiky 2A.

Garant a přednášející: doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc.

Cvičící: doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc., RNDr. Petr Salač, CSc., RNDr. Martina Šimůnková, PhD., Bc. Jan Staněk, CSc.

Podmínky k získání zápočtu: Během semestru budou psány 2 písemné testy (po 10 bodech). Dále budou zadány 3 sady úloh, za správné řešení každé sady lze získat maximálně 10 bodů. Zápočet bude udělen za získání alespoň 10 bodů z testů a alespoň 15 bodů ze zadaných úloh. Zúčastní-li se student alespoň 10 cvičení, bude si moci opravit (jednou) každý z testů.

Zkouška: Zkouška je písemná a je možné ji vykonat, má-li student/ka zkoušku z Matematiky 1B a zápočty z Matematiky 2A a Matematiky 2B.

Přednáška: pátek: 3. blok E9.

Hromadné cvičení (vede přednášející - možnost získání zápočtu): čtvrtek: 1. blok P14

Cvičení:

Konzultační hodiny: pátek od 7:00 do 9:00, jindy jen po předchozí dohodě, sekretariát našeho pracoviště není obsazen, veškere záležitosti týkající se výuky (dotazy apod.) proto budu řešit před či po přednášce.

Upozornění: Pro lepší informovanost studentů bude k dispozici WWW - stránka o výuce, kterou zajišťuji a na níž můžete získat další informace:

http://e-learning.vslib.cz

V Liberci 30. září 2004

Miroslav Brzezina

2003/2004
KAP ->FS 2. roč. ZS 2003-04 Matematika 2B (2+2 zk) sylabus

Anotace předmětu: Integrální počet funkcí více proměnných a jeho aplikace na geometrické, fyzikální a technické problémy. Křivkové a plošné integrály a jejich užití při technických výpočtech. Soustavy obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty a jejich řešení. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav pomocí Laplaceovy transformace.

Obsah přednášek:

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic:

Cauchyova úloha, pojem řešení a jeho vlastnosti. Soustava obyčejných lineárních diferenciál-ních rovnic 1. řádu. Řešení soustav obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantní-mi koeficienty. Stabilita řešení obyčejných diferenciálních rovnic.

Řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav pomocí Laplaceovy transformace:

Pojem Laplaceovy transformace, základní vlastnosti, „slovník” Laplaceovy transformace. Řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav. Aplikace na řešení mechanických soustav.

Integrální počet funkcí více proměnných:

Integrační obory v kartézských a polárních souřadnicích v R2, v kartézských, válcových a kulových souřadnicích v R3. Dvojný a trojný integrál, jejich vlastnosti: Výpočet dvojného a trojného integrálu (Fubiniova věta), transformace souřadnic. Užití dvojného a trojného integrálu (výpočet objemu, hmotnosti, momentů setrvačnosti, těžiště těles).

Teorie pole:

Vektorové a skalární pole, potenciálové pole, rotace. Křivkové integrály I. a II. druhu, Greenova věta, nezávislost křivkového integrálu II. druhu na integrační cestě. Plošné integrály I. a II. druhu, Stokesova a divergenční věta. Užití křivkových a plošných integrálů ve fyzice a technice.

Literatura:

Veit, J.: Integrální transformace, SNTL Praha 1983, (MVŠT).

Mezník, I. – Karásek, J. – Miklíček, J.: Matematika I. pro strojní fakulty, SNTL Praha 1992.

Nagy, J. – Nováková, E. – Vacek, M.: Integrální počet, SNTL Praha 1984, (MVŠT).

Zelinka, B.: Matematika III. VŠST, Liberec, 1994.

Brzezina, M.: Jak na soustavy obyčejných diferenciálních rovnic? TU Liberec, Liberec, 2001.

Návaznost předmětu: Získání zápočtu z Matematiky 2A.

Garant a přednášející: doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc.

Cvičící: RNDr. Petr Salač, CSc., RNDr. Martina Šimůnková, PhD., Jan Staněk, CSc.

Podmínky k získání zápočtu: Během semestru budou psány 2 písemné testy (po 10 bodech). Zápočet bude udělen za získání alespoň 10 bodů z testů. Zúčastní-li se student alespoň 10 cvičení, bude si moci opravit (jednou) každý z testů.

Zkouška: Zkouška je písemná a je možné ji vykonat, má-li student/ka zkoušku z Matematiky 1B a zápočty z Matematiky 2A a Matematiky 2B.

Přednáška: čtvrtek: 2. blok E9,

Hromadné cvičení (vede přednášející--možnost získání zápočtu): čtvrtek: 1. blok P0

Cvičení: pondělí: 3., 6, blok, úterý: 2., 7. blok, středa: 2., 4., 5. blok, čtvrtek 6., 7. blok

Konzultační hodiny: středy od 7:00 do 10:00, jindy jen po předchozí dohodě, sekretariát našeho pracoviště není obsazen, veškere záležitosti týkající se výuky (dotazy apod.) proto budu řešit před či po přednášce.

Upozornění: Pro lepší informovanost studentů bude k dispozici WWW - stránka o výuce, kterou zajišťuji a na níž můžete získat další informace:

http://e-learning.vslib.cz

V Liberci 30. září 2003

Miroslav Brzezina

2002/2003
KAP ->FS 2. roč. ZS 2002-03 Matematika 2B (2+2 k) sylabus

Anotace předmětu: Integrální počet funkcí více proměnných a jeho aplikace na geometrické, fyzikální a technické problémy. Křivkové a plošné integrály a jejich užití při technických výpočtech. Soustavy obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty a jejich řešení. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav pomocí Laplaceovy transformace.

Obsah přednášek:

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic:

Cauchyova úloha, pojem řešení a jeho vlastnosti. Soustava obyčejných lineárních diferenciál-ních rovnic 1. řádu. Řešení soustav obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantní-mi koeficienty. Stabilita řešení obyčejných diferenciálních rovnic.

Řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav pomocí Laplaceovy transformace:

Pojem Laplaceovy transformace, základní vlastnosti, „slovník” Laplaceovy transformace. Řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav. Aplikace na řešení mechanických soustav.

Integrální počet funkcí více proměnných:

Integrační obory v kartézských a polárních souřadnicích v R2, v kartézských, válcových a kulových souřadnicích v R3. Dvojný a trojný integrál, jejich vlastnosti: Výpočet dvojného a trojného integrálu (Fubiniova věta), transformace souřadnic. Užití dvojného a trojného integrálu (výpočet objemu, hmotnosti, momentů setrvačnosti, těžiště těles).

Teorie pole:

Vektorové a skalární pole, potenciálové pole, rotace. Křivkové integrály I. a II. druhu, Greenova věta, nezávislost křivkového integrálu II. druhu na integrační cestě. Plošné integrály I. a II. druhu, Stokesova a divergenční věta. Užití křivkových a plošných integrálů ve fyzice a technice.

Literatura:

Veit, J.: Integrální transformace, SNTL Praha 1983, (MVŠT).

Mezník, I. – Karásek, J. – Miklíček, J.: Matematika I. pro strojní fakulty, SNTL Praha 1992.

Nagy, J. – Nováková, E. – Vacek, M.: Integrální počet, SNTL Praha 1984, (MVŠT).

Zelinka, B.: Matematika III. VŠST, Liberec, 1994.

Brzezina, M.: Jak na soustavy obyčejných diferenciálních rovnic? TU Liberec, Liberec, 2001.

Návaznost předmětu: Získání zápočtu z Matematiky 2A.

Garant a přednášející: doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc.

Cvičící: Prom. mat. Gerta Plačková, RNDr. Milan Dvořák, RNDr. Jan Mach, RNDr. Vojtěch Kopský, CSc.

Podmínky k získání zápočtu: Během semestru budou zadány 3 série úloh (po 10 bodech každá série) a 2 písemné testy (po 10 bodech). Dále 2 semestrální úlohy na řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic a Laplaceovu transformaci. Zápočet bude udělen za získání alespoň 15 bodů ze zadaných úloh, alespoň 10 bodů z testů a za správné odevzdání semestrálních úloh. Zúčastní-li se student alespoň 10 cvičení, bude si moci opravit (jednou) každý z testů.

Zkouška: Zkouška je písemná a je možné ji vykonat, má-li student/ka zkoušku z matematiky 1B.

Přednáška: středa: 2. blok E9,

Cvičení: pondělí: 1., 6, blok, úterý: 2., 4. blok, čtvrtek: 6. blok, pátek 2. blok

Upozornění: Pro lepší informovanost studentů bude k dispozici WWW - stránka o výuce, kterou zajišťuji a na níž můžete získat další informace:

http://daemon.kap.vslib.cz/brzezina

V Liberci 20. září

Miroslav Brzezina

Jak na soustavy diferenciálních rovnic?
Učební text pro studenty Fakulty strojní a Fakulty textilní Technické univerzity v Liberci.

Autor: doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc., katedra aplikované matematiky TU v Liberci

(e-learningová forma stejnojmenných skript)

Teorie
Motivace
Mnoho fyzikálních a technických úloh lze popsat systémem diferenciálních rovnic. Takové systémy lze relativně snadno sestavit; otázky nalezení řešení jsou podstatně složitější. V této kapitole se budeme zabývat soustavami tzv. obyčejných diferenciálních rovnic (dále jen ODR), tj. soustavami, kdy neznámé funkce závisí pouze na jediné proměnné (v praxi často vyjadřující čas ).

Derivaci podle proměnné budeme zpravidla označovat tečkou.

Příklad. Soustava ODR

popisuje mechanický systém (na upevněné pružině o tuhosti je zavěšeno závaží o hmotnosti , na kterém je připevněna pružina o tuhosti a hmotnosti , a označují výchylku závaží od rovnovážného stavu). Jedná se o soustavu ODR. Protože se neznámé funkce vyskytují v soustavě spolu s druhými derivacemi, mluvíme o soustavě ODR 2. řádu.

Položíme-li , , obdržíme soustavu ODR 1. řádu

Z předcházejícího příkladu je zřejmé, že můžeme uvažovat pouze soustavy ODR 1. řádu. Soustavy vyšších řádů lze vždy zavedením nových neznámých funkcí převést na soustavu ODR 1. řádu.

Uvažujme tedy soustavu ODR 1. řádu tvaru

| (1.1)

Položíme-li

můžeme soustavu (1.1) psát stručněji ve vektorovém zápisu

| (1.2)

Soustavu (1.1) nazýváme soustavou ODR 1. řádu v normálním tvaru. (Jednotlivé derivace jsou vyjádřeny pomocí daných funkcí a neznámých funkcí .)

Nechť je otevřený interval, oblast (otevřená souvislá množina) a nechť jsou funkce , definovány na množině . Řešením soustavy (1.1) nazýváme vektorovou funkci definovanou na intervalu , pro kterou platí

* pro všechna (obor hodnot vektorové funkce leží v )

* pro všechna (funkce splňuje soustavu (1.1)).

Příklad. Snadno zjistíme, že vektorová funkce ,

je řešením soustavy

(Zde máme: , a .)

Cauchyova úloha pro soustavu ODR
Popisuje-li soustava (1.1) nějaký technický či fyzikální systém, známe zpravidla polohu či stav tohoto systému v nějakém čase, tj. známe počáteční stav (polohu) systému.

Matematicky to znamená, že k soustavě (1.1) přidáme počáteční podmínky

nebo vektorově

| (1.3)

(Předpokládáme, že a .) Soustavu (1.2) spolu s počáteční podmínkou (1.3) nazýváme počáteční nebo Cauchyovou úlohou.

Přirozeně se naskýtá otázka, zda má Cauchyova úloha řešení a zda existuje pouze jediné řešení. Odpověď na tyto otázky dává následující

Věta (existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy). Nechť , , je oblast a nechť vektorová funkce je na spojitá. Nechť a . Potom existuje řešení Cauchyovy úlohy

| (1.4)

definované na nějakém otevřeném intervalu obsahující bod .

Je-li navíc vektorová funkce lipschitzovská vzhledem k proměnné na , tj. existuje-li konstanta tak, že pro všechna a všechny platí

existuje jediné řešení Cauchyovy úlohy1(1.4).

DŮKAZ této věty je založen na Banachově větě o pevném bodu. Řešení Cauchyovy úlohy se integrací převede na řešení integrální rovnice

Pro tuto integrální rovnici se sestrojí posloupnost tzv. Picardových aproximací, o které se ukáže, že splňuje na jistém okolí bodu předpoklady Banachovy věty o pevném bodě. Vzhledem k technické náročnosti nebudeme důkaz podrobně provádět.

Při praktickém ověření podmínky, že vektorová funkce je lipschitzovská vzhledem k proměnné , je užitečné následující

Lemma. Jestliže existuje konstanta tak, že pro všechna , a , je

je vektorová funkce lipschitzovská na vzhledem k proměnné .

Příklad. Uvažujme soustavu

| (1.5)

Zřejmě je a tedy

tj. na a tedy vektorová funkce je lipschitzovská vzhledem k na a podle věty o existenci a jednoznačnosti řešení Cauchyovy úlohy má Cauchyova úloha pro soustavu (1.5), , jediné řešení pro libovolné a .

1Zde a v celé této kapitole označuje eukleidovskou normu v , tj. pro je .

Soustavy obyčejných lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu
V této části se budeme zabývat soustavami tvaru

| (1.6)

nebo ve vektorovém zápise

zde označuje matici (funkcí) typu a -rozměrný vektor (funkcí). Soustavu tvaru (1.6) nazýváme soustavou obyčejných lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu (soustavu OLDR). Je-li , nazýváme soustavu (1.6) homogenní. Jinak se nazývá nehomogenní.

Popisuje-li (1.6) nějaký fyzikální či technický systém, vyjadřuje maticová funkce chování prvků systému, vektorová funkce $ vstup systému a vektor je stavovým vektorem systému.

Otázka řešitelnosti Cauchyovy úlohy pro soustavu (1.6) se dá snadno odvodit z věty o existenci a jednoznačnosti řešení soustavy ODR. Platí tedy

Věta (existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu OLDR). Předpokládejme, že maticová funkce a vektorová funkce jsou spojité na otevřeném intervalu . Potom má pro každý bod Cauchyova úloha

právě jedno řešení definované na intervalu .

Homogenní soustavy OLDR 1. řádu
V této části se budeme zabývat vlastnostmi řešení homogenní soustavy OLDR

| (1.7)

Lemma. Všechna řešení soustavy (1.7) tvoří vektorový prostor.

DŮKAZ. Stačí ukázat, že součet řešení je řešení a že reálný násobek řešení je opět řešení. Označme dvě libovolná řešení (1.7). Potom je

tj. je řešení soustavy (1.7).

Je-li , je , tj. je řešením soustavy (1.7).

Jsou-li koeficienty matice "rozumné", tvoří všechna řešení soustavy (1.7) vektorový prostor dimenze . Přesně je tvrzení formulováno v následující větě.

Věta. Předpokládejme, že maticová funkce je na otevřeném intervalu spojitá. Potom množina všech řešení soustavy

tvoří vektorový prostor dimenze .

DŮKAZ plyne snadno z věty o existenci a jednoznačnosti řešení soustavy OLDR. Zvolme libovolně a označme -tý jednotkový vektor v . Podle zmíněné věty existují řešení Cauchyových úloh

Řešení jsou lineárně nezávislá, neboť je-li pro všechna , je speciálně . Protože vektory tvoří bázi vektorového prostoru , musí být . Tedy řešení , , jsou lineárně nezávislá.

Předchozí věta nám dovoluje zavést pojem fundamentálního systému či fundamentální matice. Každých lineárně nezávislých řešení soustavy (1.7) na intervalu nazýváme fundamentálním systémem soustavy (1.7). Matici, jejíž sloupce tvoří vektory , tj.

| (1.8)

nazýváme fundamentální maticí soustavy (1.7).

Pomocí fundamentální matice lze jednoduše vyjádřit všechna řešení soustavy (1.7).

Tvrzení. Je-li fundamentální matice soustavy (1.7), pak libovolné řešení soustavy (1.7) lze psát ve tvaru

| (1.9)

kde je sloupcový vektor vhodných konstant.

Naskýtá se otázka, jak můžeme snadno zjistit, zda řešení tvoří fundamentální systém. Odpověď dává

Lemma. Jsou-li řešení soustavy (1.7) na otevřeném intervalu a je-li determinant matice (1.8) různý od nuly alespoň v jednom bodě , tvoří řešení fundamentální systém soustavy (1.7). Dále platí (za uvedených předpokladů): determinant (fundamentální) matice je různý od nuly pro všechna .

Příklad. Uvažujme soustavu OLDR

| (1.10)

Ověříme, že

tvoří fundamentální systém řešení soustavy (1.10). Je:

Po dosazení do (1.10) zjistíme, že , , jsou řešení dané soustavy. Abychom ověřili, že tato řešení tvoří fundamentální systém, stačí vypočítat

Protože je determinant různý od nuly, tvoří , a fundamentální systém. Fundamentální matice pro soustavu (1.10) má tvar

| (1.11)

(Metodou nalezení fundamentálního systému řešení pro soustavy typu (1.10) se budeme zabývat v části 1.4.)

Nehomogenní soustavy OLDR 1. řádu - variace konstant
Řešení Cauchyovy úlohy pro nehomogenní soustavu OLDR tvaru

| (1.12)

se spojitou maticovou funkcí a vektorovou funkcí na otevřeném intervalu , , , (řešení této úlohy existuje a je jednoznačně určeno - viz výše) lze hledat pomocí tzv. metody variace konstant.

Hledejme řešení soustavy (1.12) ve tvaru

kde je fundamentální matice homogenní soustavy ODR (1.7) a neznámý sloupcový vektor funkcí. Dosazením do (1.12) dostáváme:

tj.

| (1.13)

neboť . Protože je matice pro každé regulární, můžeme rovnost v (1.13) vynásobit inverzní maticí a obdržíme

Integrováním poslední rovnosti v mezích od do dostaneme

tedy

je hledané řešení soustavy (1.12).

Odvozený výsledek si zapíšeme ve tvaru věty.

Věta Jsou-li maticová funkce a vektorová funkce na otevřeném intervalu spojité a je-li libovolné, má Cauchyova úloha

pro libovolný bod právě jedno řešení definované na intervalu vztahem

| (1.14)

zde označuje fundamentální matici soustavy .

Příklad. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy

| (1.15)

ŘEŠENÍ: Máme . Fundamentální matice homogenní soustavy je dána vztahem (1.11). Abychom mohli užít vztah (1.14), musíme vypočítat a . Po snadném, ale pracném výpočtu zjistíme, že

a tedy

Dosazením do (1.14) máme

Poznámka. Předpokládejme, že jsme nalezli jedno řešení , soustavy

Takové řešení nazýváme partikulární . Chceme-li nalézt všechna řešení uvedené soustavy, položme

a dosaďme do soustavy. Dostáváme:

Odtud plyne, že všechna řešení soustavy jsou tvaru (tzv. obecné řešení ):

kde je libovolné řešení homogenní soustavy

Strukturou řešení homogenní soustavy jsme se zabývali v předchozím odstavci.

Příklad. S ohledem na předchozí poznámku lze Cauchyovu úlohu (1.15) řešit následujícím způsobem, který bývá v konkrétních situacích zpravidla jednodušší: Označíme řešení homogenní soustavy (1.15), tj. sloupce matice v (1.11). Hledáme neznámé funkce tak, aby

bylo řešením soustavy (1.15). Snadno zjistíme, že

Dosazením do soustavy (1.15) a využitím faktu, že dostáváme soustavu (algebraických rovnic) pro neznámé funkce:

Celou soustavu vydělíme kladnou funkcí a z první rovnice soustavy máme

(Integrační konstantu lze volit libovolně, pro usnadnění je zpravidla výhodné volit nulu.) Další rovnice soustavy pak mají tvar:

Jak snadno spočteme, je determinant této soustavy roven -1, a tedy hledaná řešení jsou:

Po integrování (integrační konstanty volíme opět nuly) máme:

Partikulární řešení má tedy tvar

Z řešení příkladu v kapitole 1.3.1 víme, že libovolné řešení homogenní soustavy (1.11) lze psát ve tvaru

kde jsou konstanty. Obecné řešení soustavy (1.15) má tvar

Abychom nalezli řešení Cauchyovy úlohy, musíme určit konstanty z počáteční podmínky. Dostáváme soustavu lineárních algebraických rovnic:

Jak snadno zjistíme, má tato soustava (jediné) řešení , , . Tedy hledané řešení Cauchyovy úlohy je

Po úpravě dostáváme hledané řešení Cauchyovy úlohy:

Soustavy OLDR s konstantními koeficienty
V této části se budeme zabývat soustavami obyčejných lineárních diferenciálních rovnic v případě, že maticová funkce nezávisí na , tj. soustavami tvaru

| (1.16)

s reálnou maticí a vektorovou funkcí . Je-li , nazýváme

| (1.17)

homogenní lineární soustavou ODR s konstantními koeficienty . Někdy se též užívá názvu soustava autonomních lineárních diferenciálních rovnic .

Autonomní soustava popisuje takové fyzikální či technické systémy v nichž chování prvků systému není závislé na čase.

K nalezení fundamentálního systému řešení soustavy (1.17) se dá užít s výhodou lineární algebry. Hlavní výsledky shrneme v dalším odstavci. Uvažujme reálnou matici typu , tj.

Označme jednotkovou matici typu písmenem , tj.

Charakteristickým polynomem matice nazýváme determinant matice , tj.

Kořeny charakteristického polynomu nazýváme vlastními čísly matice . Někdy se též používá označení charakteristická čísla (hodnoty) . Množinu všech vlastních čísel matice nazýváme spektrum matice a označujeme .

Příklad. Najděte všechna vlastní čísla matice

ŘEŠENÍ: Charakteristický polynom matice je

Vlastní čísla matice tedy jsou , a . Spektrum matice je .

Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu a matici nazýváme každý nenulový vektor , který vyhovuje rovnici

Příklad. Najděte všechny vlastní vektory matice z předchozího příkladu.

ŘEŠENÍ: Vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu je nenulové řešení soustavy , tj.

Všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , , .

Vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu je nenulové řešení soustavy , tj.

Všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , , .

Vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu je nenulové řešení soustavy , tj.

Všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , , .

Tvrzení. Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům , matice jsou lineárně nezávislé. Při řešení lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty lze řešení hledat ve tvaru . Podobně lze řešení soustavy (1.17) hledat ve tvaru , kde je vektor konstant a , resp. . Má-li být řešení, musí platit:

Tedy musíme najít vektor a číslo tak, aby

| (1.18)

Protože nulový vektor tvoří vždy řešení soustavy (1.17), zajímá nás nenulové řešení soustavy (1.18). Aby existovalo nenulové řešení soustavy (1.18), musí být matice singulární, tj. . Tedy musí být vlastní číslo matice a odpovídající vlastní vektor. Výsledek našich úvah si zapíšeme ve tvaru věty.

Věta. Jsou-li různá vlastní čísla matice a odpovídající vlastní vektory, jsou

lineárně nezávislá řešení soustavy .

DŮKAZ. Protože , jsou , , řešení soustavy (1.17).

Řešení jsou lineárně nezávislá, neboť z , , , plyne, že . Protože jsou ale vektory lineárně nezávislé, viz tvrzení na str. \pageref{nezavislost}, jsou nutně pro .

Příklad. Nalezněte všechna řešení soustavy , kde je matice z předchozího příkladu.

ŘEŠENÍ: Z řešení předchozího příkladu již známe vlastní čísla a vlastní vektory matice . Všechna řešení jsou tedy tvaru (tzv. obecné řešení )

kde jsou libovolné konstanty.

Komplexní vlastní čísla

Je-li , , komplexní vlastní číslo matice s vlastním vektorem (komplexním) s reálnou složkou a imaginární složkou , je řešení (komplexní) rovnice .

Snadno lze dokázat následující

Lemma. Je-li , , , komplexní řešení soustavy , jsou a reálná, lineárně nezávislá řešení soustavy .

Výše uvažované řešení lze psát ve tvaru

Tedy podle předchozího lemmatu jsou

| (1.19)

a

| (1.20)

lineárně nezávislá řešení soustavy (1.17).

Poznámka. Označme a lineárně nezávislá řešení příslušná (komplexnímu) vlastnímu číslu a vlastnímu vektoru (viz vztahy (1.19) a (1.20). Protože komplexně sdružené číslo je také vlastním číslem matice s vlastním vektorem (je-li , je , neboť je reálná matice), jsou

řešení soustavy (1.17) odpovídající vlastnímu číslu .

Protože a , nedostáváme "nová" řešení soustavy (1.17). Tedy ke dvojici komplexně sdružených vlastních čísel uvažujeme pouze jednu dvojici řešení danou vztahy (1.19) a (1.20).

Příklad. Nalezněte všechna řešení (reálná) soustavy

| (1.21)

ŘEŠENÍ: Charakteristický polynom matice , , má kořeny , a .

Vlastní vektor odpovídající je nenulový vektor , který je řešením soustavy , tj.

Všechna nenulová řešení soustavy jsou tvaru ; tedy vlastní vektor je např. . Řešení odpovídající vlastnímu číslu má tedy tvar

Vlastní vektor odpovídající je nenulové řešení soustavy \\, tj.

což po úpravě dává soustavu

Všechna nenulová řešení soustavy jsou tvaru . Vlastní vektor je např. . Podle vztahů (1.19) a (1.20) mají řešení odpovídající vlastnímu číslu tvar ():

Sestavme matici

sloupce matice tvoří jednotlivá řešení , , . Protože je , jsou řešení , , lineárně nezávislá a je fundamentální matice soustavy (1.21). (Výše uvedený postup dává vždy lineárně nezávislá řešení, hodnotu jsme počítali pouze pro kontrolu.)

Všechna řešení soustavy (1.21) jsou tvaru , kde je vektor libovolných konstant.

Násobná vlastní čísla

V případě násobných vlastních čísel matice lze k nalezení dalších lineárně nezávislých řešení soustavy (1.17) použít např. následující postup, motivovaný řešením diferenciální rovnice tvaru , . Řešení této rovnice je tvaru , . Analogicky by bylo možné hledat řešení soustavy ve tvaru s libovolným vektorem .

Nejdříve si ale musíme říci, co rozumíme výrazem . Jedná se o exponenciálu matice , která je pro libovolnou čtvercovou matici typu definována pomocí řady

| (1.22)

(Dá se ukázat, že řada (1.22) konverguje pro každou matici .) Je zřejmé, že je matice typu .

Uvažujme nyní matici , tj. máme

| (1.23)

Derivováním řady (1.23) "člen po členu" podle proměnné dostáváme (derivováním matice rozumíme derivování každého prvku matice ):

tj.

| (1.24)

Z rovnosti (1.24) plyne, že pro libovolný vektor je řešením soustavy , neboť

Dále se budeme zabývat otázkou, jak najít pro soustavu její řešení tvaru . Protože není snadné sečíst řadu (1.23), musíme k výpočtu použít jinou metodu.

Protože je

a

je

| (1.25)

Podle definice exponenciály matice dostáváme z (1.25):

| (1.26)

Ke klíčovému poznatku patří následující fakt: Je-li pro vektor a , je také pro každé , neboť

Je-li tedy pro nějaké , lze rovnost v (1.26) psát jako konečný součet tvaru

| (1.27)

Posledně uvedený vztah (1.27) dává návod k nalezení všech lineárně nezávislých řešení soustavy :

(a) Nalezneme všechna vlastní čísla a vlastní vektory matice . Má-li matice lineárně nezávislých vlastních vektorů, má diferenciální rovnice také lineárně nezávislých řešení tvaru . (Řada ve výrazu (1.27) má pouze jeden sčítanec.)

(b) Má-li matice pouze lineárně nezávislých vlastních vektorů, máme pouze lineárně nezávislých řešení tvaru . Je-li vlastní číslo násobnosti {\bf větší} než jedna, nalezneme všechny vektory , pro které je , ale . Potom je pro takový vektor

| (1.28)

řešení rovnice .

(c) Nemáme-li stále dost lineárně nezávislých řešení (tj. ), nalezneme všechny vektory , pro které je , ale . Potom je pro takový vektor

| (1.29)

řešení rovnice .

(d) Nemáme-li ještě stále dost nezávislých řešení, \uv{přibíráme} další členy ve vztahu (1.27) analogickým postupem.

Lze dokázat, že výše uvedeným postupem obdržíme vždy všech lineárně nezávislých řešení soustavy .

Příklad. Nalezněme tři lineárně nezávislá řešení soustavy

| (1.30)

ŘEŠENÍ: Charakteristický polynom matice , , má jednoduchý kořen a dvojnásobný kořen

Všechny vlastní vektory odpovídající jsou tvaru , , (získáme je řešením soustavy ). Řešení odpovídající vlastnímu číslu má tvar

Všechny vlastní vektory odpovídající jsou tvaru , , (získáme je řešením soustavy ). Řešení odpovídající vlastnímu číslu má tvar

Třetí lineárně nezávislé řešení budeme hledat podle vztahu (1.28). Musíme nalézt vektor tak, aby , ale . Je

Všechna řešení této soustavy jsou tvaru , . Zvolíme-li např. a , , máme splněnu i podmínku . Tedy další řešení je tvaru

(Ukažte, že řešení , a jsou lineárně nezávislá\,!)

Pro označme -tý jednotkový vektor v . Ze vztahu (1.24) plyne, že pro každé , je řešení soustavy . Protože je -tý sloupec matice řešení a , je matice fundamentální maticí soustavy . Zpravidla ji nazýváme standardní fundamentální maticí .

Vztah mezi standardní fundamentální maticí a fundamentální maticí soustavy (1.17) je obsahem následující věty.

Věta. Je-li fundamentální matice soustavy , potom

| (1.31)

Dále platí:

| (1.32)

Rovnost v (1.32) lze použít při řešení nehomogenních OLDR s konstantními koeficienty metodou variace konstant. Vztah (1.14) z odstavce \ref{NH} pak bude mít tvar

| (1.33)

Vztah (1.32) ukazuje, že při metodě variace konstant nemusíme počítat přímo inverzní matici , postačí vypočítat .

Máme-li k dispozici standardní fundamentální matici , lze rovnost (1.33) psát ve tvaru

Podobně jako u lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty je někdy snadnější "uhodnout" tvar řešení nehomogenní rovnice než jej počítat pomocí variace konstant.

Postup si ukážeme na příkladu.

Příklad. Nalezněte partikulární řešení soustavy, tj. libovolné řešení soustavy,

| (1.34)

ŘEŠENÍ: Řešení soustavy (nehomogenní) budeme hledat ve tvaru

| (1.35)

Dosazením do (1.34) dostáváme

Po roznásobení a porovnání koeficientů u stejných mocnin dostaneme soustavu šesti rovnic o šesti neznámých

která má řešení , , , , a . Po dosazení do (1.35) dostáváme partikulární řešení

Příklad. Nalezněte partikulární řešení soustavy

| (1.36)

ŘEŠENÍ: Označme matici a vektor v soustavě (1.36). Řešení soustavy (nehomogenní) budeme hledat ve tvaru

| (1.37)

Dosazením do (1.36) dostáváme

Odtud máme

Po nalezení matice dostáváme

a tedy partikulární řešení soustavy (1.36) je

Poznámka. Řešení soustavy (1.17) lze v případě násobných kořenů hledat také jinými metodami. Známá je např. metoda Jordanových kanonických tvarů matic či Putzerova metoda, viz např. [3]. Námi uvedený postup je převzat z [1].

Kvalitativní vlastnosti řešení soustav ODR
V této části se budeme zabývat soustavou ODR tvaru

| (1.38)

Je-li vektorová funkce nelineární funkcí , není známá obecná metoda nalezení řešení této soustavy. V mnoha konkrétních případech ale není přímo nutné nalézt řešení této soustavy, postačí, budeme-li znát některé vlastnosti řešení.

Budeme se zabývat těmito okruhy otázek a problémů:

(a) Existuje rovnovážný (klidový) stav , tj. stav, pro který je řešením soustavy (1.38)?

(b) Nechť je řešení soustavy (1.38). Předpokládejme, že je jiné řešení soustavy (1.38) a že je "blízko" , tj. eukleidovská norma je "malá". Bude řešení také "blízko" řešení pro nebo se bude řešení od vzdalovat pro ? Tato otázka se často nazývá stabilitou řešení.

(c) Jak se chová řešení soustavy (1.38) pro ? Blíží se všechna řešení rovnovážnému stavu, tj. platí pro ?

Často můžeme na tyto otázky odpovědět, aniž bychom znali explicitně "vzoreček" řešení soustavy (1.38).

Rovnovážný stav
Na první otázku lze snadno odpovědět. Má-li být , musí být nutně , a tedy je rovnovážný stav (1.38) právě tehdy, je-li

tj. pro všechna z definičního oboru vektorové funkce je .

Příklad. Nalezněte všechny rovnovážné stavy soustavy ODR (autonomní)

| (1.39)

ŘEŠENÍ: Vektor je rovnovážný stav uvedené oustavy právě tehdy, je-li

Soustava má tato řešení: , , a . Uvedené vektory jsou rovnovážné stavy soustavy (1.39).

Stabilita řešení
Řešení druhé otázky je podstatně složitější. Budeme se zabývat pouze tzv. autonomní soustavou

| (1.40)

Řekneme, že řešení soustavy (1.40) je stabilní, jestliže každé řešení soustavy (1.40) s počáteční podmínkou "blízkou" bude "blízko" řešení pro .

Matematicky se předchozí definice přesně vyjádří takto: řešení je stabilní, jestliže pro všechna existuje tak, že pro každé řešení soustavy (1.40) a platí:

| (1.41)

Řešení se nazývá nestabilní, není-li stabilní.

Pro homogenní soustavu OLDR s konstantními koeficienty

| (1.16)

lze otázku stability vyšetřit kompletně.

Věta. (a) Každé řešení soustavy (1.42) je stabilní, mají-li všechna vlastní čísla matice zápornou reálnou část.

(b) Každé řešení soustavy (1.42) je nestabilní, má-li alespoň jedno vlastní číslo matice kladnou reálnou část.

(c) Předpokládejme, že všechna vlastní čísla matice mají zápornou nebo nulovou reálnou část. Nechť jsou všechna vlastní čísla matice s nulovou reálnou částí. Nechť vlastní číslo má násobnost . Potom každé řešení soustavy (1.42) je stabilní, má-li pro každé , matice lineárně nezávislých vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu .

Asymptotická stabilita
Nyní se budeme zabývat poslední otázkou.

Mají-li všechna vlastní čísla matice zápornou reálnou část, potom se každé řešení soustavy (1.42) blíží k pro jdoucí k . (Toto plyne snadno z odhadu , , který není těžké odvodit.) Tedy nejenže je rovnovážný stav stabilní, ale každé řešení soustavy (1.42) se blíží k () pro . Tento druh stability se nazývá asymptotická stabilita.

Pojem asymptotické stability lze zavést i pro soustavy (1.40). Řešení soustavy (1.40) se nazývá asymptoticky stabilní, je-li stabilní a jestliže každé řešení soustavy (1.40) s počáteční podmínkou "blízkou" se blíží k pro . Speciálně je rovnovážný stav soustavy (1.40) asymptoticky stabilní, jestliže se každé řešení soustavy (1.40) s počáteční podmínkou "blízkou" blíží k pro .

Poznámka. Je zřejmé, že asymptotická stabilita řešení soustavy (1.42) je ekvivalentní asymptotické stabilitě rovnovážného stavu .

Tvrzení. Řešení soustavy (1.42) je asymptoticky stabilní právě tehdy, mají-li všechna vlastní čísla matice záporné reálné části.

Než uvedeme několik příkladů, ukážeme si, jak můžeme zjistit, zda mají všechna vlastní čísla matice záporné reálné části, aniž bychom přímo vlastní čísla znali.

Hurwitzovo kritérium. Nechť je polynom () s reálnými koeficienty, , . Přiřaďme polynomu Hurwitzovu matici

kde klademe pro a .

Potom mají všechny kořeny polynomu záporné reálné části právě tehdy, jsou-li všechny hlavní diagonální minory Hurwitzovy matice polynomu kladné.

V některých případech může být užitečné toto

Tvrzení. Nechť stopa matice je kladná, tj. součet prvků matice na hlavní diagonále nebo . Potom alespoň jedno vlastní číslo matice má kladnou reálnou část.

Příklad. Vyšetřete, zda jsou všechna řešení soustavy stabilní, asymptoticky stabilní či nestabilní, je-li

ŘEŠENÍ: (a) Protože stopa matice je , má alespoň jedno vlastní číslo matice kladnou reálnou část a tedy všechna řešení jsou nestabilní.

(b) Charakteristický polynom matice je , tj. . Protože jsou všechna vlastní čísla matice záporná, je každé řešení asymptoticky stabilní.

Pokud bychom neuměli nalézt všechny kořeny charakteristického polynomu, můžeme užít Hurwitzova kritéria. Hurwitzova matice příslušná polynomu je

Protože , a (hlavní diagonální minory kladné), mají podle Hurwitzova kritéria všechny kořeny charakteristického polynomu záporné reálné části a tedy všechna řešení jsou asymptoticky stabilní.

(c) Charakteristický polynom matice je , tj. . Všechna řešení jsou tedy stabilní, ale nejsou asymptoticky stabilní.

Příklad. Ukažte, že každé řešení soustavy ODR s

je nestabilní.

ŘEŠENÍ: Charakteristický polynom matice je , tj. .

Vlastní vektor matice příslušný k musí splňovat soustavu

tj. a . Každý vlastní vektor příslušný matici a vlastnímu číslu 0 je tvaru , . Tedy každé řešení soustavy je nestabilní, neboť je vlastní číslo násobnosti dvě a matice má pouze jediný lineárně nezávislý vektor odpovídající vlastnímu číslu 0.

Poznámka. Někdy se užívá také označení ljapunovovská stabilita, resp. ljapunovovská asymptotická stabilita, místo stability, resp. asymptotické stability. Další kritéria stability pro obecnější soustavy lze nalézt v [4].

Řešené úlohy
Úlohy na vlastní čísla a vlastní vektory matic
Příklad. Najděte všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory matice

Řešení: Protože

jsou vlastní čísla matice rovny , a . K nalezení všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu hledáme všechna nenulová řešení soustavy , tj. soustavy

která je ekvivalentní se soustavou

Všechna nenulová řešení poslední soustavy jsou tvaru , , a tedy všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , .

K nalezení všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu hledáme všechna nenulová řešení soustavy , tj. soustavy

která má nenulová řešení tvaru , , a tedy všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , . K nalezení všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu hledáme všechna nenulová řešení soustavy , tj. soustavy

která má nenulová řešení tvaru , , a tedy všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , .

Příklad. Najděte všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory matice

ŘEŠENÍ: Protože , jsou vlastní čísla matice rovny a . K nalezení všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu hledáme všechna nenulová řešení soustavy , tj. soustavy

Všechna nenulová řešení poslední soustavy jsou tvaru , , a tedy všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , .

Zvolíme-li např. a , dostáváme vektory a , které tvoří bázi vektorového podprostoru všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu (dvojnásobnému) .

K nalezení všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu hledáme všechna nenulová řešení soustavy , tj. soustavy

která má nenulová řešení tvaru , , a tedy všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , .

Příklad. Najděte všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory matice

ŘEŠENÍ: Protože , jsou vlastní čísla matice rovny a . K nalezení všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu hledáme všechna nenulová řešení soustavy , tj. soustavy

Všechna nenulová řešení poslední soustavy jsou tvaru , , a tedy všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , .

K nalezení všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu hledáme všechna nenulová řešení soustavy , tj. soustavy

která má nenulová řešení tvaru , , a tedy všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , .

K nalezení všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu hledáme všechna nenulová řešení soustavy , tj. soustavy

Všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , .

Úlohy na soustavy ODR
Příklad. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

Zjistěte dále, zda je každé řešení soustavy stabilní, resp. asymptoticky stabilní.

ŘEŠENÍ: Označme matici soustavy. Protože , jsou vlastní čísla a . Nalezením všech nenulových řešení soustavy , tj.

dostáváme všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu : , , .

Nalezením všech nenulových řešení soustavy , tj.

dostáváme všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu : , , .

Protože je

je zřejmé, že všechny vektory splňující podmínku a jsou tvaru , kde . Zvolíme-li , , dostáváme obecné řešení homogenní soustavy ve tvaru ( jsou libovolné konstanty):

tj.

Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme pomocí metody variace konstant:

Dosazením do soustavy získáme algebraickou soustavu rovnic tvaru (po vydělení výrazem )

která má řešení , , , odtud , , (integrační konstanty volíme všechny nula), tj.

Obecné řešení nehomogenní soustavy je tvaru:

Nyní určíme konstanty tak, aby byly splněny počáteční podmínky, tj. řešíme soustavu lineárních algebraických rovnic

Tato soustava má řešení . Řešení splňující počáteční podmínku je tvaru:

Protože vlastní čísla jsou kladná, nejsou řešení stabilní ani asymptoticky stabilní.

Příklad. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

Rozhodněte, zda je každé řešení soustavy stabilní a asymptoticky stabilní.

ŘEŠENÍ: Označme

Protože , jsou vlastní čísla a . Všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu jsou tvaru , , k jsou všechny vlastní vektory tvaru , . Protože je

a pro vektor je a , má homogenní soustava obecné řešení tvaru ( libovolné konstanty):

tj.

Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru Dosazením do soustavy dostaneme

což po úpravě vede na soustavu

která má řešení , . Obecné řešení nehomogenní soustavy má tvar

Řešení splňující počáteční podmínku je tvaru (postupujeme stejně jako v předchozím případě, ):

Protože vlastní čísla jsou kladná, nejsou řešení stabilní ani asymptoticky stabilní. Příklad. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

Rozhodněte, zda je každé řešení soustavy asymptoticky stabilní.

ŘEŠENÍ: Označme matici soustavy. Protože , jsou vlastní čísla a . Všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu jsou tvaru , , k jsou tvaru , . Protože je

a pro vektor je a , má homogenní soustava obecné řešení tvaru:

tj.

Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru Dosazením do soustavy dostáváme po úpravě algebraickou soustavu lineárních rovnic

která má řešení , , . Obecné řešení nehomogenní soustavy má tvar:

Zbývá nalézt konstanty a tak, aby

tj. řešit soustavu

Soustava má řešení , a , a tedy řešení splňující počáteční podmínku je

Protože všechna vlastní čísla matice nemají záporné reálné části, nejsou řešení soustavy asymptoticky stabilní.

Příklad. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

Rozhodněte, zda je každé řešení soustavy asymptoticky stabilní.

ŘEŠENÍ: Označme matici soustavy. Protože , jsou vlastní čísla matice rovny: a . Všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu jsou tvaru , . K nalezení vlastních vektorů k vlastnímu číslu řešíme v komplexním oboru soustavu

která je ekvivalentní se soustavou

a která má řešení , . Protože je

má podle (1.19) a (1.20) homogenní soustava obecné řešení tvaru

Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru Po dosazení do soustavy dostáváme soustavu lineárních rovnic tvaru

která má řešení , . Obecné řešení nehomogenní soustavy má tvar

Zbývá nalézt konstanty a tak, aby

tj. řešit soustavu

Soustava má řešení , a . Řešení splňující počáteční podmínku je tedy

Podle kritéria nejsou řešení soustavy asymptoticky stabilní, neboť vlastní čísla nemají zápornou reálnou část.

Příklad. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

Rozhodněte, zda je každé řešení soustavy asymptoticky stabilní.

ŘEŠENÍ: Označme matici soustavy. Protože , jsou vlastní čísla a . Všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu jsou tvaru , . Abychom našli všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu , musíme najít nenulová řešení soustavy

která je ekvivalentní se soustavou

Ta má nenulová řešení tvaru , . Protože je

má homogenní soustava obecné řešení tvaru (viz (1.19) a (1.20)):

Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru Příslušná soustava má řešení , (partikulární řešení hledáme stejně jako v předchozím příkladě). Obecné řešení nehomogenní soustavy je

Řešení splňující počáteční podmínku je tvaru (, , ):

Podle kritéria nejsou řešení soustavy asymptoticky stabilní ( má kladnou reálnou část).
Příklady na procvičování
1. Najděte vlastní čísla a příslušné vlastní vektory následujících matic:

2. Najděte řešení Cauchyovy úlohy (pomocí variace konstant)

3. Najděte partikulární řešení soustavy (hledejte řešení ve vhodném tvaru)

4. Najděte všechny rovnovážné stavy soustavy

5. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

Rozhodněte, zda je každé řešení soustavy asymptoticky stabilní.

6. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

7. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

Rozhodněte, zda je každé řešení soustavy asymptoticky stabilní.

8. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro soustavu

Rozhodněte, zda je každé řešení soustavy asymptoticky stabilní.

Výsledky
1. označuje podprostor vlastních vektorů příslušný vlastnímu číslu , sloupcové vektory zde zapisujeme jako řádkové.

2.

3.

4. (a) (b)

5.

6.

7.

8.

Literatura
[1] Braun,M.: Differential equations and their applications. New York Springer-Verlag 1978

[2] Mayberg, K., Vachenauer,P.: Höhere Mathematik 2. Berlin, Springer - Verlag 1991

[3] Nagy, J.: Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Praha, SNTL 1983

[4] Nagy, J.: Stabilita řešení soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Praha, SNTL 1983.