| e-learning.tul.cz
|  | Guest10 On-line

Navigazione
Menu principale Contenuto

Soustavy OLDR s konstantními koeficienty V této části se budeme zabývat soustavami obyčejných lineárních diferenciálních rovnic v případě, že maticová funkce nezávisí na , tj. soustavami tvaru

| (1.16)

s reálnou maticí a vektorovou funkcí . Je-li , nazýváme

| (1.17)

homogenní lineární soustavou ODR s konstantními koeficienty . Někdy se též užívá názvu soustava autonomních lineárních diferenciálních rovnic .

Autonomní soustava popisuje takové fyzikální či technické systémy v nichž chování prvků systému není závislé na čase.

K nalezení fundamentálního systému řešení soustavy (1.17) se dá užít s výhodou lineární algebry. Hlavní výsledky shrneme v dalším odstavci. Uvažujme reálnou matici typu , tj.

Označme jednotkovou matici typu písmenem , tj.

Charakteristickým polynomem matice nazýváme determinant matice , tj.

Kořeny charakteristického polynomu nazýváme vlastními čísly matice . Někdy se též používá označení charakteristická čísla (hodnoty) . Množinu všech vlastních čísel matice nazýváme spektrum matice a označujeme .

Příklad. Najděte všechna vlastní čísla matice

ŘEŠENÍ: Charakteristický polynom matice je

Vlastní čísla matice tedy jsou , a . Spektrum matice je .

Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu a matici nazýváme každý nenulový vektor , který vyhovuje rovnici

Příklad. Najděte všechny vlastní vektory matice z předchozího příkladu.

ŘEŠENÍ: Vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu je nenulové řešení soustavy , tj.

Všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , , .

Vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu je nenulové řešení soustavy , tj.

Všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , , .

Vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu je nenulové řešení soustavy , tj.

Všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jsou , , .

Tvrzení. Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům , matice jsou lineárně nezávislé. Při řešení lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty lze řešení hledat ve tvaru . Podobně lze řešení soustavy (1.17) hledat ve tvaru , kde je vektor konstant a , resp. . Má-li být řešení, musí platit:

Tedy musíme najít vektor a číslo tak, aby

| (1.18)

Protože nulový vektor tvoří vždy řešení soustavy (1.17), zajímá nás nenulové řešení soustavy (1.18). Aby existovalo nenulové řešení soustavy (1.18), musí být matice singulární, tj. . Tedy musí být vlastní číslo matice a odpovídající vlastní vektor. Výsledek našich úvah si zapíšeme ve tvaru věty.

Věta. Jsou-li různá vlastní čísla matice a odpovídající vlastní vektory, jsou

lineárně nezávislá řešení soustavy .

DŮKAZ. Protože , jsou , , řešení soustavy (1.17).

Řešení jsou lineárně nezávislá, neboť z , , , plyne, že . Protože jsou ale vektory lineárně nezávislé, viz tvrzení na str. \pageref{nezavislost}, jsou nutně pro .

Příklad. Nalezněte všechna řešení soustavy , kde je matice z předchozího příkladu.

ŘEŠENÍ: Z řešení předchozího příkladu již známe vlastní čísla a vlastní vektory matice . Všechna řešení jsou tedy tvaru (tzv. obecné řešení )

kde jsou libovolné konstanty.

Komplexní vlastní čísla

Je-li , , komplexní vlastní číslo matice s vlastním vektorem (komplexním) s reálnou složkou a imaginární složkou , je řešení (komplexní) rovnice .

Snadno lze dokázat následující

Lemma. Je-li , , , komplexní řešení soustavy , jsou a reálná, lineárně nezávislá řešení soustavy .

Výše uvažované řešení lze psát ve tvaru

Tedy podle předchozího lemmatu jsou

| (1.19)

a

| (1.20)

lineárně nezávislá řešení soustavy (1.17).

Poznámka. Označme a lineárně nezávislá řešení příslušná (komplexnímu) vlastnímu číslu a vlastnímu vektoru (viz vztahy (1.19) a (1.20). Protože komplexně sdružené číslo je také vlastním číslem matice s vlastním vektorem (je-li , je , neboť je reálná matice), jsou

řešení soustavy (1.17) odpovídající vlastnímu číslu .

Protože a , nedostáváme "nová" řešení soustavy (1.17). Tedy ke dvojici komplexně sdružených vlastních čísel uvažujeme pouze jednu dvojici řešení danou vztahy (1.19) a (1.20).

Příklad. Nalezněte všechna řešení (reálná) soustavy

| (1.21)

ŘEŠENÍ: Charakteristický polynom matice , , má kořeny , a .

Vlastní vektor odpovídající je nenulový vektor , který je řešením soustavy , tj.

Všechna nenulová řešení soustavy jsou tvaru ; tedy vlastní vektor je např. . Řešení odpovídající vlastnímu číslu má tedy tvar

Vlastní vektor odpovídající je nenulové řešení soustavy \\, tj.

což po úpravě dává soustavu

Všechna nenulová řešení soustavy jsou tvaru . Vlastní vektor je např. . Podle vztahů (1.19) a (1.20) mají řešení odpovídající vlastnímu číslu tvar ():

Sestavme matici

sloupce matice tvoří jednotlivá řešení , , . Protože je , jsou řešení , , lineárně nezávislá a je fundamentální matice soustavy (1.21). (Výše uvedený postup dává vždy lineárně nezávislá řešení, hodnotu jsme počítali pouze pro kontrolu.)

Všechna řešení soustavy (1.21) jsou tvaru , kde je vektor libovolných konstant.

Násobná vlastní čísla

V případě násobných vlastních čísel matice lze k nalezení dalších lineárně nezávislých řešení soustavy (1.17) použít např. následující postup, motivovaný řešením diferenciální rovnice tvaru , . Řešení této rovnice je tvaru , . Analogicky by bylo možné hledat řešení soustavy ve tvaru s libovolným vektorem .

Nejdříve si ale musíme říci, co rozumíme výrazem . Jedná se o exponenciálu matice , která je pro libovolnou čtvercovou matici typu definována pomocí řady

| (1.22)

(Dá se ukázat, že řada (1.22) konverguje pro každou matici .) Je zřejmé, že je matice typu .

Uvažujme nyní matici , tj. máme

| (1.23)

Derivováním řady (1.23) "člen po členu" podle proměnné dostáváme (derivováním matice rozumíme derivování každého prvku matice ):

tj.

| (1.24)

Z rovnosti (1.24) plyne, že pro libovolný vektor je řešením soustavy , neboť

Dále se budeme zabývat otázkou, jak najít pro soustavu její řešení tvaru . Protože není snadné sečíst řadu (1.23), musíme k výpočtu použít jinou metodu.

Protože je

a

je

| (1.25)

Podle definice exponenciály matice dostáváme z (1.25):

| (1.26)

Ke klíčovému poznatku patří následující fakt: Je-li pro vektor a , je také pro každé , neboť

Je-li tedy pro nějaké , lze rovnost v (1.26) psát jako konečný součet tvaru

| (1.27)

Posledně uvedený vztah (1.27) dává návod k nalezení všech lineárně nezávislých řešení soustavy :

(a) Nalezneme všechna vlastní čísla a vlastní vektory matice . Má-li matice lineárně nezávislých vlastních vektorů, má diferenciální rovnice také lineárně nezávislých řešení tvaru . (Řada ve výrazu (1.27) má pouze jeden sčítanec.)

(b) Má-li matice pouze lineárně nezávislých vlastních vektorů, máme pouze lineárně nezávislých řešení tvaru . Je-li vlastní číslo násobnosti {\bf větší} než jedna, nalezneme všechny vektory , pro které je , ale . Potom je pro takový vektor

| (1.28)

řešení rovnice .

(c) Nemáme-li stále dost lineárně nezávislých řešení (tj. ), nalezneme všechny vektory , pro které je , ale . Potom je pro takový vektor

| (1.29)

řešení rovnice .

(d) Nemáme-li ještě stále dost nezávislých řešení, \uv{přibíráme} další členy ve vztahu (1.27) analogickým postupem.

Lze dokázat, že výše uvedeným postupem obdržíme vždy všech lineárně nezávislých řešení soustavy .

Příklad. Nalezněme tři lineárně nezávislá řešení soustavy

| (1.30)

ŘEŠENÍ: Charakteristický polynom matice , , má jednoduchý kořen a dvojnásobný kořen

Všechny vlastní vektory odpovídající jsou tvaru , , (získáme je řešením soustavy ). Řešení odpovídající vlastnímu číslu má tvar

Všechny vlastní vektory odpovídající jsou tvaru , , (získáme je řešením soustavy ). Řešení odpovídající vlastnímu číslu má tvar

Třetí lineárně nezávislé řešení budeme hledat podle vztahu (1.28). Musíme nalézt vektor tak, aby , ale . Je

Všechna řešení této soustavy jsou tvaru , . Zvolíme-li např. a , , máme splněnu i podmínku . Tedy další řešení je tvaru

(Ukažte, že řešení , a jsou lineárně nezávislá\,!)

Pro označme -tý jednotkový vektor v . Ze vztahu (1.24) plyne, že pro každé , je řešení soustavy . Protože je -tý sloupec matice řešení a , je matice fundamentální maticí soustavy . Zpravidla ji nazýváme standardní fundamentální maticí .

Vztah mezi standardní fundamentální maticí a fundamentální maticí soustavy (1.17) je obsahem následující věty.

Věta. Je-li fundamentální matice soustavy , potom

| (1.31)

Dále platí:

| (1.32)

Rovnost v (1.32) lze použít při řešení nehomogenních OLDR s konstantními koeficienty metodou variace konstant. Vztah (1.14) z odstavce \ref{NH} pak bude mít tvar

| (1.33)

Vztah (1.32) ukazuje, že při metodě variace konstant nemusíme počítat přímo inverzní matici , postačí vypočítat .

Máme-li k dispozici standardní fundamentální matici , lze rovnost (1.33) psát ve tvaru

Podobně jako u lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty je někdy snadnější "uhodnout" tvar řešení nehomogenní rovnice než jej počítat pomocí variace konstant.

Postup si ukážeme na příkladu.

Příklad. Nalezněte partikulární řešení soustavy, tj. libovolné řešení soustavy,

| (1.34)

ŘEŠENÍ: Řešení soustavy (nehomogenní) budeme hledat ve tvaru

| (1.35)

Dosazením do (1.34) dostáváme

Po roznásobení a porovnání koeficientů u stejných mocnin dostaneme soustavu šesti rovnic o šesti neznámých

která má řešení , , , , a . Po dosazení do (1.35) dostáváme partikulární řešení

Příklad. Nalezněte partikulární řešení soustavy

| (1.36)

ŘEŠENÍ: Označme matici a vektor v soustavě (1.36). Řešení soustavy (nehomogenní) budeme hledat ve tvaru

| (1.37)

Dosazením do (1.36) dostáváme

Odtud máme

Po nalezení matice dostáváme

a tedy partikulární řešení soustavy (1.36) je

Poznámka. Řešení soustavy (1.17) lze v případě násobných kořenů hledat také jinými metodami. Známá je např. metoda Jordanových kanonických tvarů matic či Putzerova metoda, viz např. [3]. Námi uvedený postup je převzat z [1].

Squadra di realizzazione | Potenziato da LINUX | Versione 3.2.3