| e-learning.tul.cz
|  | Guest10 On-line

Navigation
Menu principal Contenu

Cauchyova úloha pro soustavu ODR Popisuje-li soustava (1.1) nějaký technický či fyzikální systém, známe zpravidla polohu či stav tohoto systému v nějakém čase, tj. známe počáteční stav (polohu) systému. Matematicky to znamená, že k soustavě (1.1) přidáme počáteční podmínky

nebo vektorově

| (1.3)

(Předpokládáme, že a .) Soustavu (1.2) spolu s počáteční podmínkou (1.3) nazýváme počáteční nebo Cauchyovou úlohou.

Přirozeně se naskýtá otázka, zda má Cauchyova úloha řešení a zda existuje pouze jediné řešení. Odpověď na tyto otázky dává následující

Věta (existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy). Nechť , , je oblast a nechť vektorová funkce je na spojitá. Nechť a . Potom existuje řešení Cauchyovy úlohy

| (1.4)

definované na nějakém otevřeném intervalu obsahující bod .

Je-li navíc vektorová funkce lipschitzovská vzhledem k proměnné na , tj. existuje-li konstanta tak, že pro všechna a všechny platí

existuje jediné řešení Cauchyovy úlohy1(1.4).

DŮKAZ této věty je založen na Banachově větě o pevném bodu. Řešení Cauchyovy úlohy se integrací převede na řešení integrální rovnice

Pro tuto integrální rovnici se sestrojí posloupnost tzv. Picardových aproximací, o které se ukáže, že splňuje na jistém okolí bodu předpoklady Banachovy věty o pevném bodě. Vzhledem k technické náročnosti nebudeme důkaz podrobně provádět.

Při praktickém ověření podmínky, že vektorová funkce je lipschitzovská vzhledem k proměnné , je užitečné následující

Lemma. Jestliže existuje konstanta tak, že pro všechna , a , je

je vektorová funkce lipschitzovská na vzhledem k proměnné .

Příklad. Uvažujme soustavu

| (1.5)

Zřejmě je a tedy

tj. na a tedy vektorová funkce je lipschitzovská vzhledem k na a podle věty o existenci a jednoznačnosti řešení Cauchyovy úlohy má Cauchyova úloha pro soustavu (1.5), , jediné řešení pro libovolné a .

1Zde a v celé této kapitole označuje eukleidovskou normu v , tj. pro je .

Equipe de réalisation | Réalisé sur Linux | Version 3.2.3