| e-learning.tul.cz
|  | Guest10 On-line

Navigation
Menu principal Contenu

Motivace Mnoho fyzikálních a technických úloh lze popsat systémem diferenciálních rovnic. Takové systémy lze relativně snadno sestavit; otázky nalezení řešení jsou podstatně složitější. V této kapitole se budeme zabývat soustavami tzv. obyčejných diferenciálních rovnic (dále jen ODR), tj. soustavami, kdy neznámé funkce závisí pouze na jediné proměnné (v praxi často vyjadřující čas ).

Derivaci podle proměnné budeme zpravidla označovat tečkou.

Příklad. Soustava ODR

popisuje mechanický systém (na upevněné pružině o tuhosti je zavěšeno závaží o hmotnosti , na kterém je připevněna pružina o tuhosti a hmotnosti , a označují výchylku závaží od rovnovážného stavu). Jedná se o soustavu ODR. Protože se neznámé funkce vyskytují v soustavě spolu s druhými derivacemi, mluvíme o soustavě ODR 2. řádu.

Položíme-li , , obdržíme soustavu ODR 1. řádu

Z předcházejícího příkladu je zřejmé, že můžeme uvažovat pouze soustavy ODR 1. řádu. Soustavy vyšších řádů lze vždy zavedením nových neznámých funkcí převést na soustavu ODR 1. řádu.

Uvažujme tedy soustavu ODR 1. řádu tvaru

| (1.1)

Položíme-li

můžeme soustavu (1.1) psát stručněji ve vektorovém zápisu

| (1.2)

Soustavu (1.1) nazýváme soustavou ODR 1. řádu v normálním tvaru. (Jednotlivé derivace jsou vyjádřeny pomocí daných funkcí a neznámých funkcí .)

Nechť je otevřený interval, oblast (otevřená souvislá množina) a nechť jsou funkce , definovány na množině . Řešením soustavy (1.1) nazýváme vektorovou funkci definovanou na intervalu , pro kterou platí

* pro všechna (obor hodnot vektorové funkce leží v )

* pro všechna (funkce splňuje soustavu (1.1)).

Příklad. Snadno zjistíme, že vektorová funkce ,

je řešením soustavy

(Zde máme: , a .)

Equipe de réalisation | Réalisé sur Linux | Version 3.2.3